Algebra Beispiele

$- 6 x^{2} + 10 x + 1$

Schritt 1

Das Maximum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ negativ ist, ist der Maximalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{10}{2 (- 6)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{10}{2 (- 6)}$

Schritt 2.3

Vereinfache $- \frac{10}{2 (- 6)}$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 6}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 6$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 (- 6)}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 6}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{5}{- 6}$

Schritt 2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - - \frac{5}{6}$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $- - \frac{5}{6}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 (\frac{5}{6})$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{5}{6}$ mit $1$ .

$x = \frac{5}{6}$

Schritt 3

Berechne $f (\frac{5}{6})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = - 6 {(\frac{5}{6})}^{2} + 10 (\frac{5}{6}) + 1$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{6}$ an.

$f (\frac{5}{6}) = - 6 \frac{5^{2}}{6^{2}} + 10 (\frac{5}{6}) + 1$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = - 6 \frac{25}{6^{2}} + 10 (\frac{5}{6}) + 1$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = - 6 (\frac{25}{36}) + 10 (\frac{5}{6}) + 1$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$f (\frac{5}{6}) = 6 (- 1) (\frac{25}{36}) + 10 (\frac{5}{6}) + 1$

Schritt 3.2.1.4.2

Faktorisiere $6$ aus $36$ heraus.

$f (\frac{5}{6}) = 6 \cdot (- 1 \frac{25}{6 \cdot 6}) + 10 (\frac{5}{6}) + 1$

Schritt 3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{6}) = 6 \cdot (- 1 \frac{25}{6 \cdot 6}) + 10 (\frac{5}{6}) + 1$

Schritt 3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{6}) = - 1 (\frac{25}{6}) + 10 (\frac{5}{6}) + 1$

Schritt 3.2.1.5

Schreibe $- 1 (\frac{25}{6})$ als $- (\frac{25}{6})$ um.

$f (\frac{5}{6}) = - (\frac{25}{6}) + 10 (\frac{5}{6}) + 1$

Schritt 3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{6} + 2 (5) (\frac{5}{6}) + 1$

Schritt 3.2.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{6} + 2 \cdot (5 (\frac{5}{2 \cdot 3})) + 1$

Schritt 3.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{6} + 2 \cdot (5 (\frac{5}{2 \cdot 3})) + 1$

Schritt 3.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{6} + 5 (\frac{5}{3}) + 1$

Schritt 3.2.1.7

Kombiniere $5$ und $\frac{5}{3}$ .

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{6} + \frac{5 \cdot 5}{3} + 1$

Schritt 3.2.1.8

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{6} + \frac{25}{3} + 1$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{25}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{6} + \frac{25}{3} \cdot \frac{2}{2} + 1$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{25}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{6} + \frac{25 \cdot 2}{3 \cdot 2} + 1$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{6} + \frac{25 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{6} + \frac{25 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{6}{6}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{6} + \frac{25 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{6}{6}$

Schritt 3.2.2.6

Stelle die Faktoren von $3 \cdot 2$ um.

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{6} + \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 3} + \frac{6}{6}$

Schritt 3.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{5}{6}) = - \frac{25}{6} + \frac{25 \cdot 2}{6} + \frac{6}{6}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{- 25 + 25 \cdot 2 + 6}{6}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{- 25 + 50 + 6}{6}$

Schritt 3.2.4.2

Addiere $- 25$ und $50$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 + 6}{6}$

Schritt 3.2.4.3

Addiere $25$ und $6$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{31}{6}$

Schritt 3.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{31}{6}$ .

$\frac{31}{6}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Maximum auftritt.

$(\frac{5}{6}, \frac{31}{6})$

Schritt 5