Algebra Beispiele

$3 {(x - 3)}^{2} - 12$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x - 3)}^{2}$ als $(x - 3) (x - 3)$ um.

$f (x) = 3 ((x - 3) (x - 3)) - 12$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = 3 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) - 12$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) - 12$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 12$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 12$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x) = 3 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) - 12$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$f (x) = 3 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) - 12$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$f (x) = 3 (x^{2} - 6 x + 9) - 12$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9 - 12$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$f (x) = 3 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 9 - 12$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27 - 12$

Schritt 2

Subtrahiere $12$ von $27$ .

$f (x) = 3 x^{2} - 18 x + 15$

Schritt 3

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 4

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{- 18}{2 (3)}$

Schritt 4.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{- 18}{2 (3)}$

Schritt 4.3

Vereinfache $- \frac{- 18}{2 (3)}$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $2$ .

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot - 9}{2 (3)}$

Schritt 4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{- 9}{3}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $3$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$x = - \frac{3 \cdot - 3}{3}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x = - \frac{3 \cdot - 3}{3 (1)}$

Schritt 4.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{- 3}{1}$

Schritt 4.3.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$x = - - 3$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$x = 3$

Schritt 5

Berechne $f (3)$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = 3 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3 + 15$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $3$ mit ${(3)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1.1

Mutltipliziere $3$ mit ${(3)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f (3) = 3 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3 + 15$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (3) = 3^{1 + 2} - 18 \cdot 3 + 15$

Schritt 5.2.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (3) = 3^{3} - 18 \cdot 3 + 15$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = 27 - 18 \cdot 3 + 15$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $3$ .

$f (3) = 27 - 54 + 15$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $54$ von $27$ .

$f (3) = - 27 + 15$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 27$ und $15$ .

$f (3) = - 12$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 12$ .

$- 12$

Schritt 6

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(3, - 12)$

Schritt 7