Algebra Beispiele

$- 2 x^{2} - 10 x + 49$

Schritt 1

Das Maximum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ negativ ist, ist der Maximalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{- 10}{2 (- 2)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{- 10}{2 (- 2)}$

Schritt 2.3

Vereinfache $- \frac{- 10}{2 (- 2)}$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $2$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 2$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot - 5}{2 (- 2)}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 2.3.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 3

Berechne $f (- \frac{5}{2})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - 2 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$f (- \frac{5}{2}) = - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f (- \frac{5}{2}) = - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})) - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - 2 (1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})) - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - 2 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Schritt 3.2.1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - 2 \frac{25}{2^{2}} - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Schritt 3.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - 2 (\frac{25}{4}) - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Schritt 3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (- \frac{5}{2}) = 2 (- 1) (\frac{25}{4}) - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Schritt 3.2.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{5}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{25}{2 \cdot 2}) - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Schritt 3.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{25}{2 \cdot 2}) - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Schritt 3.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5}{2}) = - 1 (\frac{25}{2}) - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Schritt 3.2.1.7

Schreibe $- 1 (\frac{25}{2})$ als $- (\frac{25}{2})$ um.

$f (- \frac{5}{2}) = - (\frac{25}{2}) - 10 (- \frac{5}{2}) + 49$

Schritt 3.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} - 10 (\frac{- 5}{2}) + 49$

Schritt 3.2.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 2 (- 5) (\frac{- 5}{2}) + 49$

Schritt 3.2.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 2 \cdot (- 5 (\frac{- 5}{2})) + 49$

Schritt 3.2.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} - 5 \cdot - 5 + 49$

Schritt 3.2.1.9

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + 25 + 49$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $25$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + \frac{25}{1} + 49$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{25}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + \frac{25}{1} \cdot \frac{2}{2} + 49$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{25}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2} + 49$

Schritt 3.2.2.4

Schreibe $49$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2} + \frac{49}{1}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{49}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2} + \frac{49}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{49}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2} + \frac{49 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 25 \cdot 2 + 49 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 50 + 49 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $49$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 50 + 98}{2}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.5.1

Addiere $- 25$ und $50$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{25 + 98}{2}$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $25$ und $98$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{123}{2}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{123}{2}$ .

$\frac{123}{2}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Maximum auftritt.

$(- \frac{5}{2}, \frac{123}{2})$

Schritt 5