Gib eine Aufgabe ein ...
Algebra Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2
Berechne .
Schritt 1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3
Berechne .
Schritt 1.3.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 1.3.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.3.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.3.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.3.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.3.5
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.3.6
Kombiniere und .
Schritt 1.3.7
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.3.8
Vereinfache den Zähler.
Schritt 1.3.8.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.8.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.3.9
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.3.10
Addiere und .
Schritt 1.3.11
Kombiniere und .
Schritt 1.3.12
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.13
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 2
Schritt 2.1
Differenziere.
Schritt 2.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.2
Berechne .
Schritt 2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.2
Schreibe als um.
Schritt 2.2.3
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 2.2.3.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.3.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.2.4
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 2.2.4.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.2.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.4.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.2.5
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.2.6
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.7
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.2.8
Multipliziere die Exponenten in .
Schritt 2.2.8.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.2.8.2
Kombiniere und .
Schritt 2.2.8.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.2.9
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.2.10
Kombiniere und .
Schritt 2.2.11
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.2.12
Vereinfache den Zähler.
Schritt 2.2.12.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.12.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.2.13
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.2.14
Addiere und .
Schritt 2.2.15
Kombiniere und .
Schritt 2.2.16
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.17
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 2.2.18
Kombiniere und .
Schritt 2.2.19
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 2.2.20
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 2.2.20.1
Bewege .
Schritt 2.2.20.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.2.20.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.2.20.4
Addiere und .
Schritt 2.2.21
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.22
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3
Subtrahiere von .
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
Schritt 4.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.2
Berechne .
Schritt 4.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3
Berechne .
Schritt 4.1.3.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 4.1.3.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 4.1.3.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.3.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 4.1.3.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.3.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.3.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.3.5
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.1.3.6
Kombiniere und .
Schritt 4.1.3.7
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.1.3.8
Vereinfache den Zähler.
Schritt 4.1.3.8.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3.8.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.1.3.9
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.1.3.10
Addiere und .
Schritt 4.1.3.11
Kombiniere und .
Schritt 4.1.3.12
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3.13
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.3
Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.
Schritt 5.3.1
Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.
Schritt 5.3.2
Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.
1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.
2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.
Schritt 5.3.3
Da keine Teiler außer und hat.
ist eine Primzahl
Schritt 5.3.4
Das kgV von ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.
Schritt 5.3.5
Der Teiler von ist selbst.
occurs time.
Schritt 5.3.6
Das kgV von ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.
Schritt 5.3.7
Das kleinste gemeinsame Vielfache einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.
Schritt 5.4
Multipliziere jeden Term in mit um die Brüche zu eliminieren.
Schritt 5.4.1
Multipliziere jeden Term in mit .
Schritt 5.4.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 5.4.2.1
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 5.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 5.4.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.4.2.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.4.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 5.4.2.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.4.2.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.4.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 5.4.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 5.4.3.1.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 5.4.3.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.4.3.1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.4.3.1.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.5
Löse die Gleichung.
Schritt 5.5.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 5.5.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 5.5.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 5.5.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 5.5.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.5.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 5.5.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 5.5.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 5.5.3
Potenziere jede Seite der Gleichung mit , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 5.5.4
Vereinfache den Exponenten.
Schritt 5.5.4.1
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 5.5.4.1.1
Vereinfache .
Schritt 5.5.4.1.1.1
Multipliziere die Exponenten in .
Schritt 5.5.4.1.1.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 5.5.4.1.1.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 5.5.4.1.1.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.5.4.1.1.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.5.4.1.1.2
Vereinfache.
Schritt 5.5.4.2
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 5.5.4.2.1
Potenziere mit .
Schritt 5.5.5
Bringe alle Terme, die nicht enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
Schritt 5.5.5.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.5.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 6
Schritt 6.1
Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.
Schritt 6.1.1
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 6.1.2
Alles, was auf angehoben wird, ist die Basis selbst.
Schritt 6.2
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 6.3
Löse nach auf.
Schritt 6.3.1
Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.
Schritt 6.3.2
Vereinfache jede Seite der Gleichung.
Schritt 6.3.2.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 6.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 6.3.2.2.1
Vereinfache .
Schritt 6.3.2.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 6.3.2.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 6.3.2.2.1.3
Multipliziere die Exponenten in .
Schritt 6.3.2.2.1.3.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 6.3.2.2.1.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 6.3.2.2.1.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.3.2.2.1.3.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6.3.2.2.1.4
Vereinfache.
Schritt 6.3.2.2.1.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 6.3.2.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 6.3.2.3.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 6.3.3
Löse nach auf.
Schritt 6.3.3.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 6.3.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 6.3.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 6.3.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 6.3.3.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 6.3.3.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.3.3.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 6.3.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 6.3.3.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Schritt 9.1
Vereinfache den Nenner.
Schritt 9.1.1
Addiere und .
Schritt 9.1.2
Schreibe als um.
Schritt 9.1.3
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 9.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 9.1.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.1.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 9.1.5
Potenziere mit .
Schritt 9.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 10
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 11
Schritt 11.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 11.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 11.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.2
Vereinfache jeden Term.
Schritt 11.2.2.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 11.2.2.2
Addiere und .
Schritt 11.2.2.3
Schreibe als um.
Schritt 11.2.2.4
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 11.2.2.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 11.2.2.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 11.2.2.5.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 11.2.2.6
Potenziere mit .
Schritt 11.2.3
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 11.2.3.1
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 11.2.3.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 11.2.3.3
Addiere und .
Schritt 11.2.3.4
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 11.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 12
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 13
Schritt 13.1
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 13.1.1
Addiere und .
Schritt 13.1.2
Schreibe als um.
Schritt 13.1.3
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 13.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 13.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 13.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 13.3
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 13.3.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 13.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.3.3
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 13.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Undefiniert
Schritt 14
Schritt 14.1
Teile in separate Intervalle um die -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu oder nicht definiert machen.
Schritt 14.2
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
Schritt 14.2.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 14.2.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 14.2.2.1
Addiere und .
Schritt 14.2.2.2
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 14.3
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
Schritt 14.3.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 14.3.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 14.3.2.1
Addiere und .
Schritt 14.3.2.2
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 14.4
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
Schritt 14.4.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 14.4.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 14.4.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 14.4.2.1.1
Vereinfache den Nenner.
Schritt 14.4.2.1.1.1
Addiere und .
Schritt 14.4.2.1.1.2
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 14.4.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.4.2.2
Kombiniere Brüche.
Schritt 14.4.2.2.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 14.4.2.2.2
Addiere und .
Schritt 14.4.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 14.5
Da die erste Ableitung um herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist ein lokales Maximum.
ist ein lokales Maximum
Schritt 14.6
Da die erste Ableitung um herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist ein lokales Minimum.
ist ein lokales Minimum
Schritt 14.7
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Minimum
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Minimum
Schritt 15