Algebra Beispiele

$- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} + 3$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot ((x - 1) (x - 1)) + 3$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + 3$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + 3$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 3$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + 3$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 3$

Schritt 1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + 3$

Schritt 1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + 3$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - x - x + 1) + 3$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 2 x + 1) + 3$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot (- 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot (- 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (- 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Schritt 1.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x)) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Schritt 1.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} - 1 (- x) - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + 1 x - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Schritt 1.5.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{1}{2} \cdot 1 + 3$

Schritt 1.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{1}{2} + 3$

Schritt 2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{- 1 + 6}{2}$

Schritt 5.2

Addiere $- 1$ und $6$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{5}{2}$

Schritt 6

Das Maximum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ negativ ist, ist der Maximalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 7

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 7.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{1}{2 (- 0.5)}$

Schritt 7.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{1}{2 (- 0.5)}$

Schritt 7.3

Vereinfache $- \frac{1}{2 (- 0.5)}$ .

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.5$ .

$x = - \frac{1}{- 1}$

Schritt 7.3.2

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x = - - 1$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 8

Berechne $f (1)$ .

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} + 1 + \frac{5}{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.2.1.1

Entferne die Klammern.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} + 1 + \frac{5}{2}$

Schritt 8.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (1) = 1 + \frac{- {(1)}^{2} + 5}{2}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 + \frac{- 1 \cdot 1 + 5}{2}$

Schritt 8.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = 1 + \frac{- 1 + 5}{2}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.3.1

Addiere $- 1$ und $5$ .

$f (1) = 1 + \frac{4}{2}$

Schritt 8.2.3.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$f (1) = 1 + 2$

Schritt 8.2.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f (1) = 3$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 9

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Maximum auftritt.

$(1, 3)$

Schritt 10