Algebra Beispiele

$0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $0.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.5 x^{2}$ nach $x$ gleich $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $0.5$ .

$1 x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [23 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $23$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $23 x$ nach $x$ gleich $23 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x + 23 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $23$ mit $1$ .

$x + 23 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Schritt 1.4

Da $- 216$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 216$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Schritt 1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

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Schritt 1.5.1

Da $2600$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2600}{x}$ nach $x$ gleich $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.5.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

Schritt 1.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2600$ .

$x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.6.2.1

Addiere $x + 23$ und $0$ .

$x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.6.2.2

Kombiniere $- 2600$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

Schritt 1.6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

Schritt 1.6.3

Stelle die Terme um.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [23]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2600$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2600}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (23)$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (23)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (23)$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (23)$

Schritt 2.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (23)$

Schritt 2.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (23)$

Schritt 2.2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (23)$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2600$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (23)$

Schritt 2.3

Da $23$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $23$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $5200$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}} + 0$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $1 + \frac{5200}{x^{3}}$ und $0$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{5200}{x^{3}} + 1$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (0.5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $0.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.5 x^{2}$ nach $x$ gleich $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0.5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $0.5$ .

$f' (x) = 1 x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [23 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $23$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $23 x$ nach $x$ gleich $23 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x + 23 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $23$ mit $1$ .

$f' (x) = x + 23 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Schritt 4.1.4

Da $- 216$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 216$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Schritt 4.1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

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Schritt 4.1.5.1

Da $2600$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2600}{x}$ nach $x$ gleich $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 4.1.5.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Schritt 4.1.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

Schritt 4.1.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2600$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

Schritt 4.1.6

Vereinfache.

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Schritt 4.1.6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4.1.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.6.2.1

Addiere $x + 23$ und $0$ .

$f' (x) = x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4.1.6.2.2

Kombiniere $- 2600$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

Schritt 4.1.6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

Schritt 4.1.6.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ .

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

Schritt 5.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx 9.01216529$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{2600}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 9.01216529$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 9.01216529$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{5200}{{(9.01216529)}^{3}} + 1$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $9.01216529$ mit $3$ .

$\frac{5200}{731.96016423} + 1$

Schritt 9.1.2

Dividiere $5200$ durch $731.96016423$ .

$7.10421175 + 1$

Schritt 9.2

Addiere $7.10421175$ und $1$ .

$8.10421175$

Schritt 10

$x = 9.01216529$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 9.01216529$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 9.01216529$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9.01216529$ .

$f (9.01216529) = 0.5 {(9.01216529)}^{2} + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Potenziere $9.01216529$ mit $2$ .

$f (9.01216529) = 0.5 \cdot 81.21912329 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $0.5$ mit $81.21912329$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Schritt 11.2.1.3

Mutltipliziere $23$ mit $9.01216529$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Schritt 11.2.1.4

Dividiere $2600$ durch $9.01216529$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + 288.49892506$

Schritt 11.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 11.2.2.1

Addiere $40.60956164$ und $207.27980177$ .

$f (9.01216529) = 247.88936342 - 216 + 288.49892506$

Schritt 11.2.2.2

Subtrahiere $216$ von $247.88936342$ .

$f (9.01216529) = 31.88936342 + 288.49892506$

Schritt 11.2.2.3

Addiere $31.88936342$ und $288.49892506$ .

$f (9.01216529) = 320.38828848$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $320.38828848$ .

$y = 320.38828848$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ .

$(9.01216529, 320.38828848)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13