Algebra Beispiele

$S (w) = w^{4} - w^{3} - 11 w^{2} - w - 12$

Schritt 1

Um die Anzahl möglicher positiver Wurzeln zu bestimmen, betrachte die Vorzeichen der Koeffizienten und zähle, wie oft die Vorzeichen der Koeffizienten von positiv nach negativ oder von negativ nach positiv wechseln.

$f (w) = w^{4} - w^{3} - 11 w^{2} - w - 12$

Schritt 2

Da vom Term höchster Ordnung zum niedrigsten Term $1$ Vorzeichenwechsel erfolgt, gibt es höchstens $1$ positive Wurzel (Vorzeichenregel von Descartes).

Positive Wurzeln: $1$

Schritt 3

Um die mögliche Anzahl negativer Wurzeln zu ermitteln, ersetze $w$ durch $- w$ und wiederhole den Vorzeichenvergleich.

$f (- w) = {(- w)}^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $- w$ an.

$f (- w) = {(- 1)}^{4} w^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Schritt 4.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- w) = 1 w^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $w^{4}$ mit $1$ .

$f (- w) = w^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $- w$ an.

$f (- w) = w^{4} - ({(- 1)}^{3} w^{3}) - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Schritt 4.5

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.1

Bewege ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 w^{3}) - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{3}$ mit $- 1$ .

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Schritt 4.5.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) w^{3}) - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Schritt 4.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{3 + 1} w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Schritt 4.5.3

Addiere $3$ und $1$ .

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{4} w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Schritt 4.6

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- w) = w^{4} + 1 w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $w^{3}$ mit $1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Schritt 4.8

Wende die Produktregel auf $- w$ an.

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 ({(- 1)}^{2} w^{2}) - (- w) - 12$

Schritt 4.9

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 (1 w^{2}) - (- w) - 12$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $w^{2}$ mit $1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 w^{2} - (- w) - 12$

Schritt 4.11

Multipliziere $- (- w)$ .

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Schritt 4.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 w^{2} + 1 w - 12$

Schritt 4.11.2

Mutltipliziere $w$ mit $1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 w^{2} + w - 12$

Schritt 5

Da vom Term höchster Ordnung zum niedrigsten Term $3$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens $3$ negative Wurzeln (Vorzeichenregel von Descartes). Die anderen möglichen Anzahlen negativer Wurzeln werden bestimmt, indem Paare von Wurzeln voneinander subtrahiert werden (z. B. $3 - 2$ ).

Negative Wurzeln: $3$ oder $1$

Schritt 6

Die mögliche Anzahl positiver Wurzeln ist $1$ und die mögliche Anzahl negativer Wurzeln ist $3$ oder $1$ .

Positive Wurzeln: $1$

Negative Wurzeln: $3$ oder $1$