Algebra Beispiele

$p (x) = (2 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x - 25) (x^{3} + 5)$

Schritt 1

Vereinfache und ordne das Polynom in absteigender Reihenfolge neu an, um die Regel von Descartes anzuwenden.

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Schritt 1.1

Multipliziere $(2 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x - 25) (x^{3} + 5)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$2 x^{4} x^{3} + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Schritt 1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$2 (x^{3} x^{4}) + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Schritt 1.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{3 + 4} + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Schritt 1.2.1.1.3

Addiere $3$ und $4$ .

$2 x^{7} + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Schritt 1.2.1.3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.3.1

Bewege $x^{3}$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 (x^{3} x^{3}) - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Schritt 1.2.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{3 + 3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Schritt 1.2.1.3.3

Addiere $3$ und $3$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Schritt 1.2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Schritt 1.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.5.1

Bewege $x^{3}$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 (x^{3} x) + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Schritt 1.2.1.5.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 1.2.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 (x^{3} x^{1}) + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Schritt 1.2.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{3 + 1} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Schritt 1.2.1.5.3

Addiere $3$ und $1$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{4} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Schritt 1.2.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $10$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{4} + 50 x - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Schritt 1.2.1.7

Mutltipliziere $- 25$ mit $5$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{4} + 50 x - 25 x^{3} - 125$

Schritt 1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.2.2.1

Addiere $10 x^{4}$ und $10 x^{4}$ .

$2 x^{7} + 20 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 50 x - 25 x^{3} - 125$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere $25 x^{3}$ von $- 25 x^{3}$ .

$2 x^{7} + 20 x^{4} - 5 x^{6} - 50 x^{3} + 50 x - 125$

Schritt 1.2.2.3

Bewege $20 x^{4}$ .

$2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 x^{3} + 50 x - 125$

Schritt 2

Um die Anzahl möglicher positiver Wurzeln zu bestimmen, betrachte die Vorzeichen der Koeffizienten und zähle, wie oft die Vorzeichen der Koeffizienten von positiv nach negativ oder von negativ nach positiv wechseln.

$f (x) = 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 x^{3} + 50 x - 125$

Schritt 3

Da vom Term höchster Ordnung zum Term niedrigster Ordnung $5$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens $5$ positive Wurzeln (Vorzeichenregel von Descartes). Die anderen möglichen Anzahlen positiver Wurzeln werden bestimmt, indem Paare von Wurzeln voneinander subtrahiert werden $(5 - 2)$ .

Positive Wurzeln: $5$ , $3$ , or $1$

Schritt 4

Um die mögliche Anzahl negativer Wurzeln zu ermitteln, ersetze $x$ durch $- x$ und wiederhole den Vorzeichenvergleich.

$f (- x) = 2 {(- x)}^{7} - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 2 ({(- 1)}^{7} x^{7}) - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Schritt 5.2

Potenziere $- 1$ mit $7$ .

$f (- x) = 2 (- x^{7}) - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Schritt 5.4

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 ({(- 1)}^{6} x^{6}) + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Schritt 5.5

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 (1 x^{6}) + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $x^{6}$ mit $1$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Schritt 5.7

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Schritt 5.8

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 (1 x^{4}) - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Schritt 5.10

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 50 (- x) - 125$

Schritt 5.11

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 (- x^{3}) + 50 (- x) - 125$

Schritt 5.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 50$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} + 50 x^{3} + 50 (- x) - 125$

Schritt 5.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $50$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} + 50 x^{3} - 50 x - 125$

Schritt 6

Da vom Term höchster Ordnung zum niedrigsten Term $2$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens $2$ negative Wurzeln (Vorzeichenregel von Descartes). Die anderen möglichen Anzahlen negativer Wurzeln werden bestimmt, indem Paare von Wurzeln voneinander subtrahiert werden (z. B. $2 - 2$ ).

Negative Wurzeln: $2$ oder $0$

Schritt 7

Die mögliche Anzahl positiver Wurzeln ist $5$ , $3$ , or $1$ und die mögliche Anzahl negativer Wurzeln ist $2$ oder $0$ .

Positive Wurzeln: $5$ , $3$ , or $1$

Negative Wurzeln: $2$ oder $0$