Algebra Beispiele

$f (x) = 3 x^{6} + 2 x^{5} + x^{4} - 2 x^{3}$

Schritt 1

Klammere den ggT $x^{3}$ aus $3 x^{6} + 2 x^{5} + x^{4} - 2 x^{3}$ aus.

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Schritt 1.1

Klammere den ggT $x^{3}$ aus jedem Term des Polynoms aus.

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Schritt 1.1.1

Klammere den ggT $x^{3}$ aus dem Ausdruck $3 x^{6}$ aus.

$x^{3} (3 x^{3}) + 2 x^{5} + x^{4} - 2 x^{3}$

Schritt 1.1.2

Klammere den ggT $x^{3}$ aus dem Ausdruck $2 x^{5}$ aus.

$x^{3} (3 x^{3}) + x^{3} (2 x^{2}) + x^{4} - 2 x^{3}$

Schritt 1.1.3

Klammere den ggT $x^{3}$ aus dem Ausdruck $x^{4}$ aus.

$x^{3} (3 x^{3}) + x^{3} (2 x^{2}) + x^{3} (x) - 2 x^{3}$

Schritt 1.1.4

Klammere den ggT $x^{3}$ aus dem Ausdruck $- 2 x^{3}$ aus.

$x^{3} (3 x^{3}) + x^{3} (2 x^{2}) + x^{3} (x) + x^{3} (- 2)$

Schritt 1.2

Da alle Terme einen gemeinsamen Faktor $x^{3}$ besitzen, kann dieser aus jedem Term herausfaktorisiert werden.

$x^{3} (3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 2)$

Schritt 2

Wende die Regel von Descartes auf den inneren Ausdruck $3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 2$ an.

$3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 2$

Schritt 3

Um die Anzahl möglicher positiver Wurzeln zu bestimmen, betrachte die Vorzeichen der Koeffizienten und zähle, wie oft die Vorzeichen der Koeffizienten von positiv nach negativ oder von negativ nach positiv wechseln.

$f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 2$

Schritt 4

Da vom Term höchster Ordnung zum niedrigsten Term $1$ Vorzeichenwechsel erfolgt, gibt es höchstens $1$ positive Wurzel (Vorzeichenregel von Descartes).

Positive Wurzeln: $1$

Schritt 5

Um die mögliche Anzahl negativer Wurzeln zu ermitteln, ersetze $x$ durch $- x$ und wiederhole den Vorzeichenvergleich.

$f (- x) = 3 {(- x)}^{3} + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Schritt 6

Vereinfache das Polynom.

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Schritt 6.1

Entferne die Klammern.

$f (- x) = 3 {(- x)}^{3} + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 3 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Schritt 6.2.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x) = 3 (- x^{3}) + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x) = - 3 x^{3} + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Schritt 6.2.4

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = - 3 x^{3} + 2 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - x - 2$

Schritt 6.2.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = - 3 x^{3} + 2 (1 x^{2}) - x - 2$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$

Schritt 7

Da vom Term höchster Ordnung zum niedrigsten Term $2$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens $2$ negative Wurzeln (Vorzeichenregel von Descartes). Die anderen möglichen Anzahlen negativer Wurzeln werden bestimmt, indem Paare von Wurzeln voneinander subtrahiert werden (z. B. $2 - 2$ ).

Negative Wurzeln: $2$ oder $0$

Schritt 8

Die mögliche Anzahl positiver Wurzeln ist $1$ und die mögliche Anzahl negativer Wurzeln ist $2$ oder $0$ .

Positive Wurzeln: $1$

Negative Wurzeln: $2$ oder $0$