Algebra Beispiele

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 5}$

Schritt 1

Löse nach $\sqrt{x - 5}$ auf.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{x - 5} = f^{- 1} x$ um.

$\sqrt{x - 5} = f^{- 1} x$

Schritt 1.2

Vereinfache $f^{- 1} x$ .

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Schritt 1.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{x - 5} = \frac{1}{f} x$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{f}$ und $x$ .

$\sqrt{x - 5} = \frac{x}{f}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x - 5}}^{2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 5}$ als ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 5)}^{1} = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$x - 5 = {(\frac{x}{f})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{f}$ an.

$x - 5 = \frac{x^{2}}{f^{2}}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten mit $f^{2}$ .

$(x - 5) f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache $(x - 5) f^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x f^{2} - 5 f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Stelle $x$ und $f^{2}$ um.

$f^{2} x - 5 f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $f^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{2} x - 5 f^{2} = \frac{x^{2}}{f^{2}} f^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{2} x - 5 f^{2} = x^{2}$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$f^{2} x - 5 f^{2} - x^{2} = 0$

Schritt 4.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.3.3

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = f^{2}$ und $c = - 5 f^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- f^{2} \pm \sqrt{{(f^{2})}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- 5 f^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache.

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Schritt 4.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.4.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(f^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.4.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2 \cdot 2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.4.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 4.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} + 4 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.4.1.3

Faktorisiere $f^{2}$ aus $f^{4} - 20 f^{2}$ heraus.

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Schritt 4.3.4.1.3.1

Faktorisiere $f^{2}$ aus $f^{4}$ heraus.

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.4.1.3.2

Faktorisiere $f^{2}$ aus $- 20 f^{2}$ heraus.

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.4.1.3.3

Faktorisiere $f^{2}$ aus $f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20$ heraus.

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} (f^{2} - 20)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.4.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$

Schritt 4.3.4.3

Vereinfache $\frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$ .

$x = \frac{f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(f^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.5.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2 \cdot 2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.5.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 4.3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} + 4 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.5.1.3

Faktorisiere $f^{2}$ aus $f^{4} - 20 f^{2}$ heraus.

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Schritt 4.3.5.1.3.1

Faktorisiere $f^{2}$ aus $f^{4}$ heraus.

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.5.1.3.2

Faktorisiere $f^{2}$ aus $- 20 f^{2}$ heraus.

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.5.1.3.3

Faktorisiere $f^{2}$ aus $f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20$ heraus.

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} (f^{2} - 20)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.5.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$

Schritt 4.3.5.3

Vereinfache $\frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$ .

$x = \frac{f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Schritt 4.3.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{f^{2} + f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Schritt 4.3.5.5

Faktorisiere $f$ aus $f^{2} + f \sqrt{f^{2} - 20}$ heraus.

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Schritt 4.3.5.5.1

Faktorisiere $f$ aus $f^{2}$ heraus.

$x = \frac{f \cdot f + f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Schritt 4.3.5.5.2

Faktorisiere $f$ aus $f \sqrt{f^{2} - 20}$ heraus.

$x = \frac{f \cdot f + f (\sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Schritt 4.3.5.5.3

Faktorisiere $f$ aus $f \cdot f + f (\sqrt{f^{2} - 20})$ heraus.

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Schritt 4.3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.6.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(f^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.6.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2 \cdot 2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 4 \cdot - 1 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 4.3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} + 4 \cdot (- 5 f^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{4} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.1.3

Faktorisiere $f^{2}$ aus $f^{4} - 20 f^{2}$ heraus.

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Schritt 4.3.6.1.3.1

Faktorisiere $f^{2}$ aus $f^{4}$ heraus.

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} - 20 f^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.1.3.2

Faktorisiere $f^{2}$ aus $- 20 f^{2}$ heraus.

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.1.3.3

Faktorisiere $f^{2}$ aus $f^{2} f^{2} + f^{2} \cdot - 20$ heraus.

$x = \frac{- f^{2} \pm \sqrt{f^{2} (f^{2} - 20)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$

Schritt 4.3.6.3

Vereinfache $\frac{- f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{- 2}$ .

$x = \frac{f^{2} \pm f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Schritt 4.3.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{f^{2} - f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Schritt 4.3.6.5

Faktorisiere $f$ aus $f^{2} - f \sqrt{f^{2} - 20}$ heraus.

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Schritt 4.3.6.5.1

Faktorisiere $f$ aus $f^{2}$ heraus.

$x = \frac{f \cdot f - f \sqrt{f^{2} - 20}}{2}$

Schritt 4.3.6.5.2

Faktorisiere $f$ aus $- f \sqrt{f^{2} - 20}$ heraus.

$x = \frac{f \cdot f + f (- \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Schritt 4.3.6.5.3

Faktorisiere $f$ aus $f \cdot f + f (- \sqrt{f^{2} - 20})$ heraus.

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Schritt 4.3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

$x = \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$

Schritt 5

Um als Funktion von $f$ neu zu schreiben, schreibe die Gleichung so, dass $x$ für sich auf einer Seite des Gleichheitszeichens ist und ein Ausdruck, der nur $f$ enthält, auf der anderen Seite ist.

$f (f) = \frac{f (f + \sqrt{f^{2} - 20})}{2}, \frac{f (f - \sqrt{f^{2} - 20})}{2}$