Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} x & - 1 & - 4 \\ x & 5 & x \\ 9 & 0 & x^{2} \end{array}]$

Schritt 1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 1.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 5 & x \\ 0 & x^{2} \end{array} |$

Schritt 1.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$x | \begin{array}{c} 5 & x \\ 0 & x^{2} \end{array} |$

Schritt 1.5

Die Unterdeterminante für $a_{21}$ ist die Determinante, wenn Zeile $2$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} |$

Schritt 1.6

Multipliziere Element $a_{21}$ mit seinen Kofaktoren.

$- x | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} |$

Schritt 1.7

Die Unterdeterminante für $a_{31}$ ist die Determinante, wenn Zeile $3$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Schritt 1.8

Multipliziere Element $a_{31}$ mit seinen Kofaktoren.

$9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Schritt 1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$x | \begin{array}{c} 5 & x \\ 0 & x^{2} \end{array} | - x | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Schritt 2

Berechne $| \begin{array}{c} 5 & x \\ 0 & x^{2} \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$x (5 x^{2} + 0 x) - x | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$x (5 x^{2} + 0) - x | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Addiere $5 x^{2}$ und $0$ .

$x (5 x^{2}) - x | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$x (5 x^{2}) - x (- x^{2} + 0 \cdot - 4) + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 4$ .

$x (5 x^{2}) - x (- x^{2} + 0) + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Addiere $- x^{2}$ und $0$ .

$x (5 x^{2}) - x (- x^{2}) + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$x (5 x^{2}) - x (- x^{2}) + 9 (- x - 5 \cdot - 4)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 4$ .

$x (5 x^{2}) - x (- x^{2}) + 9 (- x + 20)$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x \cdot x^{2} - x (- x^{2}) + 9 (- x + 20)$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x) - x (- x^{2}) + 9 (- x + 20)$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 (x^{2} x^{1}) - x (- x^{2}) + 9 (- x + 20)$

Schritt 5.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{2 + 1} - x (- x^{2}) + 9 (- x + 20)$

Schritt 5.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$5 x^{3} - x (- x^{2}) + 9 (- x + 20)$

Schritt 5.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{3} - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 9 (- x + 20)$

Schritt 5.1.4

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 x^{3} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x) + 9 (- x + 20)$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{3} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 9 (- x + 20)$

Schritt 5.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 9 (- x + 20)$

Schritt 5.1.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$5 x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{3} + 9 (- x + 20)$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$5 x^{3} + 1 x^{3} + 9 (- x + 20)$

Schritt 5.1.6

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$5 x^{3} + x^{3} + 9 (- x + 20)$

Schritt 5.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{3} + x^{3} + 9 (- x) + 9 \cdot 20$

Schritt 5.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$5 x^{3} + x^{3} - 9 x + 9 \cdot 20$

Schritt 5.1.9

Mutltipliziere $9$ mit $20$ .

$5 x^{3} + x^{3} - 9 x + 180$

Schritt 5.2

Addiere $5 x^{3}$ und $x^{3}$ .

$6 x^{3} - 9 x + 180$