Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 0 & x & x \\ x & x^{2} & 5 \\ x & 4 & - 3 \end{array}]$

Schritt 1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 1.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} x^{2} & 5 \\ 4 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$0 | \begin{array}{c} x^{2} & 5 \\ 4 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- x | \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Schritt 1.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Schritt 1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$0 | \begin{array}{c} x^{2} & 5 \\ 4 & - 3 \end{array} | - x | \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} | + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Schritt 2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} x^{2} & 5 \\ 4 & - 3 \end{array} |$ .

$0 - x | \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} | + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$0 - x (x \cdot - 3 - x \cdot 5) + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$0 - x (- 3 \cdot x - x \cdot 5) + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$0 - x (- 3 x - 5 x) + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 3 x$ .

$0 - x (- 8 x) + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$0 - x (- 8 x) + x (x \cdot 4 - x \cdot x^{2})$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$0 - x (- 8 x) + x (4 \cdot x - x \cdot x^{2})$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$0 - x (- 8 x) + x (4 x - (x^{2} x))$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$0 - x (- 8 x) + x (4 x - (x^{2} x^{1}))$

Schritt 4.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 - x (- 8 x) + x (4 x - x^{2 + 1})$

Schritt 4.2.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$0 - x (- 8 x) + x (4 x - x^{3})$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $x (- 8 x)$ von $0$ .

$- x (- 8 x) + x (4 x - x^{3})$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 \cdot - 8 x \cdot x + x (4 x - x^{3})$

Schritt 5.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1

Bewege $x$ .

$- 1 \cdot - 8 (x \cdot x) + x (4 x - x^{3})$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 1 \cdot - 8 x^{2} + x (4 x - x^{3})$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$8 x^{2} + x (4 x - x^{3})$

Schritt 5.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x^{2} + x (4 x) + x (- x^{3})$

Schritt 5.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x^{2} + 4 x \cdot x + x (- x^{3})$

Schritt 5.2.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x^{2} + 4 x \cdot x - x \cdot x^{3}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.7.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.7.1.1

Bewege $x$ .

$8 x^{2} + 4 (x \cdot x) - x \cdot x^{3}$

Schritt 5.2.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$8 x^{2} + 4 x^{2} - x \cdot x^{3}$

Schritt 5.2.7.2

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.7.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$8 x^{2} + 4 x^{2} - (x^{3} x)$

Schritt 5.2.7.2.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$8 x^{2} + 4 x^{2} - (x^{3} x^{1})$

Schritt 5.2.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 x^{2} + 4 x^{2} - x^{3 + 1}$

Schritt 5.2.7.2.3

Addiere $3$ und $1$ .

$8 x^{2} + 4 x^{2} - x^{4}$

Schritt 5.3

Addiere $8 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} - x^{4}$