Algebra Beispiele

$r = 2 \sin (2 θ)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $2 \sin (2 θ)$ .

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Schritt 1.1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$r = 2 (2 \sin (θ) \cos (θ))$

Schritt 1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$r = 4 \sin (θ) \cos (θ)$

Schritt 2

Da $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ ist, ersetze $\sin (θ)$ durch $\frac{y}{r}$ .

$r = 4 \frac{y}{r} \cos (θ)$

Schritt 3

Da $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ ist, ersetze $\cos (θ)$ durch $\frac{x}{r}$ .

$r = 4 \frac{y}{r} \frac{x}{r}$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten mit $r$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten mit $r$ .

$r \cdot r = r (4 \frac{y}{r} \frac{x}{r})$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$r^{2} = r (4 \frac{y}{r} \frac{x}{r})$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache $r (4 \frac{y}{r} \frac{x}{r})$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$r^{2} = 4 r (\frac{y}{r} \cdot \frac{x}{r})$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $\frac{y}{r} \cdot \frac{x}{r}$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{y}{r}$ mit $\frac{x}{r}$ .

$r^{2} = 4 r \frac{y x}{r \cdot r}$

Schritt 4.3.1.2.2

Potenziere $r$ mit $1$ .

$r^{2} = 4 r \frac{y x}{r^{1} r}$

Schritt 4.3.1.2.3

Potenziere $r$ mit $1$ .

$r^{2} = 4 r \frac{y x}{r^{1} r^{1}}$

Schritt 4.3.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r^{2} = 4 r \frac{y x}{r^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$r^{2} = 4 r \frac{y x}{r^{2}}$

Schritt 4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 4.3.1.3.1

Faktorisiere $r$ aus $4 r$ heraus.

$r^{2} = r \cdot 4 \frac{y x}{r^{2}}$

Schritt 4.3.1.3.2

Faktorisiere $r$ aus $r^{2}$ heraus.

$r^{2} = r \cdot 4 \frac{y x}{r \cdot r}$

Schritt 4.3.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r^{2} = r \cdot 4 \frac{y x}{r \cdot r}$

Schritt 4.3.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$r^{2} = 4 \frac{y x}{r}$

Schritt 4.3.1.4

Kombiniere $4$ und $\frac{y x}{r}$ .

$r^{2} = \frac{4 y x}{r}$

Schritt 5

Da $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ ist, ersetze $r^{2}$ durch $x^{2} + y^{2}$ und $r$ durch $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = \frac{4 y x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$