Algebra Beispiele

$B = [\begin{array}{c} - 1 & 2 & 5 & 0 \\ - 5 & 0 & 9 & 7 \\ 9 & 12 & 8 & - 1 \\ 8 & - 5 & 0 & 6 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Determinante.

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Schritt 1.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 1.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 1.1.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 0 & 9 & 7 \\ 12 & 8 & - 1 \\ - 5 & 0 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.1.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$- 1 | \begin{array}{c} 0 & 9 & 7 \\ 12 & 8 & - 1 \\ - 5 & 0 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.1.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.1.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- 2 | \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.1.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.1.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.1.9

Die Unterdeterminante für $a_{14}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $4$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 5 & 0 & 9 \\ 9 & 12 & 8 \\ 8 & - 5 & 0 \end{array} |$

Schritt 1.1.10

Multipliziere Element $a_{14}$ mit seinen Kofaktoren.

$0 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 9 \\ 9 & 12 & 8 \\ 8 & - 5 & 0 \end{array} |$

Schritt 1.1.11

Addiere die beiden Ausdrücke.

$- 1 | \begin{array}{c} 0 & 9 & 7 \\ 12 & 8 & - 1 \\ - 5 & 0 & 6 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 9 \\ 9 & 12 & 8 \\ 8 & - 5 & 0 \end{array} |$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} - 5 & 0 & 9 \\ 9 & 12 & 8 \\ 8 & - 5 & 0 \end{array} |$ .

Schritt 1.3

Berechne $| \begin{array}{c} 0 & 9 & 7 \\ 12 & 8 & - 1 \\ - 5 & 0 & 6 \end{array} |$ .

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Schritt 1.3.1

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.3.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 1.3.1.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 8 & - 1 \\ 0 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.3.1.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$0 | \begin{array}{c} 8 & - 1 \\ 0 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.3.1.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 12 & - 1 \\ - 5 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.3.1.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- 9 | \begin{array}{c} 12 & - 1 \\ - 5 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.3.1.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 12 & 8 \\ - 5 & 0 \end{array} |$

Schritt 1.3.1.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$7 | \begin{array}{c} 12 & 8 \\ - 5 & 0 \end{array} |$

Schritt 1.3.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$- 1 (0 | \begin{array}{c} 8 & - 1 \\ 0 & 6 \end{array} | - 9 | \begin{array}{c} 12 & - 1 \\ - 5 & 6 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 12 & 8 \\ - 5 & 0 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 8 & - 1 \\ 0 & 6 \end{array} |$ .

$- 1 (0 - 9 | \begin{array}{c} 12 & - 1 \\ - 5 & 6 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 12 & 8 \\ - 5 & 0 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.3.3

Berechne $| \begin{array}{c} 12 & - 1 \\ - 5 & 6 \end{array} |$ .

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Schritt 1.3.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 1 (0 - 9 (12 \cdot 6 - (- 5 \cdot - 1)) + 7 | \begin{array}{c} 12 & 8 \\ - 5 & 0 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.2.1.1

Mutltipliziere $12$ mit $6$ .

$- 1 (0 - 9 (72 - (- 5 \cdot - 1)) + 7 | \begin{array}{c} 12 & 8 \\ - 5 & 0 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.3.3.2.1.2

Multipliziere $- (- 5 \cdot - 1)$ .

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Schritt 1.3.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$- 1 (0 - 9 (72 - 1 \cdot 5) + 7 | \begin{array}{c} 12 & 8 \\ - 5 & 0 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.3.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 1 (0 - 9 (72 - 5) + 7 | \begin{array}{c} 12 & 8 \\ - 5 & 0 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.3.3.2.2

Subtrahiere $5$ von $72$ .

$- 1 (0 - 9 \cdot 67 + 7 | \begin{array}{c} 12 & 8 \\ - 5 & 0 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.3.4

Berechne $| \begin{array}{c} 12 & 8 \\ - 5 & 0 \end{array} |$ .

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Schritt 1.3.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 1 (0 - 9 \cdot 67 + 7 (12 \cdot 0 - (- 5 \cdot 8))) - 2 | \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.2.1.1

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$- 1 (0 - 9 \cdot 67 + 7 (0 - (- 5 \cdot 8))) - 2 | \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.3.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 5 \cdot 8)$ .

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Schritt 1.3.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$- 1 (0 - 9 \cdot 67 + 7 (0 - - 40)) - 2 | \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.3.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 40$ .

$- 1 (0 - 9 \cdot 67 + 7 (0 + 40)) - 2 | \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.3.4.2.2

Addiere $0$ und $40$ .

$- 1 (0 - 9 \cdot 67 + 7 \cdot 40) - 2 | \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.3.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.1.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $67$ .

$- 1 (0 - 603 + 7 \cdot 40) - 2 | \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.3.5.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $40$ .

$- 1 (0 - 603 + 280) - 2 | \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.3.5.2

Subtrahiere $603$ von $0$ .

$- 1 (- 603 + 280) - 2 | \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.3.5.3

Addiere $- 603$ und $280$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 | \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.4

Berechne $| \begin{array}{c} - 5 & 9 & 7 \\ 9 & 8 & - 1 \\ 8 & 0 & 6 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $2$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.4.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 1.4.1.3

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ 8 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.4.1.4

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- 9 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ 8 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.4.1.5

Die Unterdeterminante für $a_{22}$ ist die Determinante, wenn Zeile $2$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 5 & 7 \\ 8 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.4.1.6

Multipliziere Element $a_{22}$ mit seinen Kofaktoren.

$8 | \begin{array}{c} - 5 & 7 \\ 8 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.4.1.7

Die Unterdeterminante für $a_{32}$ ist die Determinante, wenn Zeile $3$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 5 & 7 \\ 9 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.4.1.8

Multipliziere Element $a_{32}$ mit seinen Kofaktoren.

$0 | \begin{array}{c} - 5 & 7 \\ 9 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.4.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$- 1 \cdot - 323 - 2 (- 9 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ 8 & 6 \end{array} | + 8 | \begin{array}{c} - 5 & 7 \\ 8 & 6 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 5 & 7 \\ 9 & - 1 \end{array} |) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} - 5 & 7 \\ 9 & - 1 \end{array} |$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 (- 9 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ 8 & 6 \end{array} | + 8 | \begin{array}{c} - 5 & 7 \\ 8 & 6 \end{array} | + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.4.3

Berechne $| \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ 8 & 6 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 1 \cdot - 323 - 2 (- 9 (9 \cdot 6 - 8 \cdot - 1) + 8 | \begin{array}{c} - 5 & 7 \\ 8 & 6 \end{array} | + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.2.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 (- 9 (54 - 8 \cdot - 1) + 8 | \begin{array}{c} - 5 & 7 \\ 8 & 6 \end{array} | + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 (- 9 (54 + 8) + 8 | \begin{array}{c} - 5 & 7 \\ 8 & 6 \end{array} | + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.4.3.2.2

Addiere $54$ und $8$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 (- 9 \cdot 62 + 8 | \begin{array}{c} - 5 & 7 \\ 8 & 6 \end{array} | + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.4.4

Berechne $| \begin{array}{c} - 5 & 7 \\ 8 & 6 \end{array} |$ .

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Schritt 1.4.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 1 \cdot - 323 - 2 (- 9 \cdot 62 + 8 (- 5 \cdot 6 - 8 \cdot 7) + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.4.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $6$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 (- 9 \cdot 62 + 8 (- 30 - 8 \cdot 7) + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.4.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $7$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 (- 9 \cdot 62 + 8 (- 30 - 56) + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.4.4.2.2

Subtrahiere $56$ von $- 30$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 (- 9 \cdot 62 + 8 \cdot - 86 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.4.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.5.1.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $62$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 (- 558 + 8 \cdot - 86 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.4.5.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 86$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 (- 558 - 688 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.4.5.2

Subtrahiere $688$ von $- 558$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 (- 1246 + 0) + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.4.5.3

Addiere $- 1246$ und $0$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 \cdot - 1246 + 5 | \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} | + 0$

Schritt 1.5

Berechne $| \begin{array}{c} - 5 & 0 & 7 \\ 9 & 12 & - 1 \\ 8 & - 5 & 6 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.5.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 1.5.1.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 12 & - 1 \\ - 5 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$- 5 | \begin{array}{c} 12 & - 1 \\ - 5 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ 8 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$0 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ 8 & 6 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 9 & 12 \\ 8 & - 5 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$7 | \begin{array}{c} 9 & 12 \\ 8 & - 5 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$- 1 \cdot - 323 - 2 \cdot - 1246 + 5 (- 5 | \begin{array}{c} 12 & - 1 \\ - 5 & 6 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ 8 & 6 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 9 & 12 \\ 8 & - 5 \end{array} |) + 0$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ 8 & 6 \end{array} |$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 \cdot - 1246 + 5 (- 5 | \begin{array}{c} 12 & - 1 \\ - 5 & 6 \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} 9 & 12 \\ 8 & - 5 \end{array} |) + 0$

Schritt 1.5.3

Berechne $| \begin{array}{c} 12 & - 1 \\ - 5 & 6 \end{array} |$ .

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Schritt 1.5.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 1 \cdot - 323 - 2 \cdot - 1246 + 5 (- 5 (12 \cdot 6 - (- 5 \cdot - 1)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} 9 & 12 \\ 8 & - 5 \end{array} |) + 0$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Mutltipliziere $12$ mit $6$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 \cdot - 1246 + 5 (- 5 (72 - (- 5 \cdot - 1)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} 9 & 12 \\ 8 & - 5 \end{array} |) + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Multipliziere $- (- 5 \cdot - 1)$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 \cdot - 1246 + 5 (- 5 (72 - 1 \cdot 5) + 0 + 7 | \begin{array}{c} 9 & 12 \\ 8 & - 5 \end{array} |) + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 \cdot - 1246 + 5 (- 5 (72 - 5) + 0 + 7 | \begin{array}{c} 9 & 12 \\ 8 & - 5 \end{array} |) + 0$

Schritt 1.5.3.2.2

Subtrahiere $5$ von $72$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 \cdot - 1246 + 5 (- 5 \cdot 67 + 0 + 7 | \begin{array}{c} 9 & 12 \\ 8 & - 5 \end{array} |) + 0$

Schritt 1.5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 9 & 12 \\ 8 & - 5 \end{array} |$ .

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Schritt 1.5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 1 \cdot - 323 - 2 \cdot - 1246 + 5 (- 5 \cdot 67 + 0 + 7 (9 \cdot - 5 - 8 \cdot 12)) + 0$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 5$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 \cdot - 1246 + 5 (- 5 \cdot 67 + 0 + 7 (- 45 - 8 \cdot 12)) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $12$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 \cdot - 1246 + 5 (- 5 \cdot 67 + 0 + 7 (- 45 - 96)) + 0$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $96$ von $- 45$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 \cdot - 1246 + 5 (- 5 \cdot 67 + 0 + 7 \cdot - 141) + 0$

Schritt 1.5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.5.1.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $67$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 \cdot - 1246 + 5 (- 335 + 0 + 7 \cdot - 141) + 0$

Schritt 1.5.5.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 141$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 \cdot - 1246 + 5 (- 335 + 0 - 987) + 0$

Schritt 1.5.5.2

Addiere $- 335$ und $0$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 \cdot - 1246 + 5 (- 335 - 987) + 0$

Schritt 1.5.5.3

Subtrahiere $987$ von $- 335$ .

$- 1 \cdot - 323 - 2 \cdot - 1246 + 5 \cdot - 1322 + 0$

Schritt 1.6

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 323$ .

$323 - 2 \cdot - 1246 + 5 \cdot - 1322 + 0$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1246$ .

$323 + 2492 + 5 \cdot - 1322 + 0$

Schritt 1.6.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1322$ .

$323 + 2492 - 6610 + 0$

Schritt 1.6.2

Addiere $323$ und $2492$ .

$2815 - 6610 + 0$

Schritt 1.6.3

Subtrahiere $6610$ von $2815$ .

$- 3795 + 0$

Schritt 1.6.4

Addiere $- 3795$ und $0$ .

$- 3795$

Schritt 2

Da die Determinante ungleich null ist, existiert die Umkehrfunktion.

Schritt 3

Stelle eine $4 \times 8$ Matrix auf, bei der die linke Hälfte die ursprüngliche Matrix und die rechte Hälfte die Einheitsmatrix ist.

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & 5 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 & 0 & 9 & 7 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 9 & 12 & 8 & - 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 8 & - 5 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $- 1$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $- 1$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 2 & - 1 \cdot 5 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 & - 0 \\ - 5 & 0 & 9 & 7 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 9 & 12 & 8 & - 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 8 & - 5 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 & 0 & 9 & 7 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 9 & 12 & 8 & - 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 8 & - 5 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.2

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} + 5 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.2.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} + 5 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & 0 + 5 \cdot - 2 & 9 + 5 \cdot - 5 & 7 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot - 1 & 1 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 \\ 9 & 12 & 8 & - 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 8 & - 5 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & - 16 & 7 & - 5 & 1 & 0 & 0 \\ 9 & 12 & 8 & - 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 8 & - 5 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.3

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 9 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.3.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 9 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & - 16 & 7 & - 5 & 1 & 0 & 0 \\ 9 - 9 \cdot 1 & 12 - 9 \cdot - 2 & 8 - 9 \cdot - 5 & - 1 - 9 \cdot 0 & 0 - 9 \cdot - 1 & 0 - 9 \cdot 0 & 1 - 9 \cdot 0 & 0 - 9 \cdot 0 \\ 8 & - 5 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & - 16 & 7 & - 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 30 & 53 & - 1 & 9 & 0 & 1 & 0 \\ 8 & - 5 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.4

Führe die Zeilenumformung $R_{4} = R_{4} - 8 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $4, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.4.1

Führe die Zeilenumformung $R_{4} = R_{4} - 8 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $4, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & - 16 & 7 & - 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 30 & 53 & - 1 & 9 & 0 & 1 & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & - 5 - 8 \cdot - 2 & 0 - 8 \cdot - 5 & 6 - 8 \cdot 0 & 0 - 8 \cdot - 1 & 0 - 8 \cdot 0 & 0 - 8 \cdot 0 & 1 - 8 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.4.2

Vereinfache $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & - 16 & 7 & - 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 30 & 53 & - 1 & 9 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 11 & 40 & 6 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.5

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{1}{10}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 4.5.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{1}{10}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{10} \cdot 0 & - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 16 & - \frac{1}{10} \cdot 7 & - \frac{1}{10} \cdot - 5 & - \frac{1}{10} \cdot 1 & - \frac{1}{10} \cdot 0 & - \frac{1}{10} \cdot 0 \\ 0 & 30 & 53 & - 1 & 9 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 11 & 40 & 6 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.5.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & - \frac{7}{10} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & 30 & 53 & - 1 & 9 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 11 & 40 & 6 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.6

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 30 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.6.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 30 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & - \frac{7}{10} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 - 30 \cdot 0 & 30 - 30 \cdot 1 & 53 - 30 (\frac{8}{5}) & - 1 - 30 (- \frac{7}{10}) & 9 - 30 (\frac{1}{2}) & 0 - 30 (- \frac{1}{10}) & 1 - 30 \cdot 0 & 0 - 30 \cdot 0 \\ 0 & 11 & 40 & 6 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.6.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & - \frac{7}{10} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 20 & - 6 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 11 & 40 & 6 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.7

Führe die Zeilenumformung $R_{4} = R_{4} - 11 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $4, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.7.1

Führe die Zeilenumformung $R_{4} = R_{4} - 11 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $4, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & - \frac{7}{10} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 20 & - 6 & 3 & 1 & 0 \\ 0 - 11 \cdot 0 & 11 - 11 \cdot 1 & 40 - 11 (\frac{8}{5}) & 6 - 11 (- \frac{7}{10}) & 8 - 11 (\frac{1}{2}) & 0 - 11 (- \frac{1}{10}) & 0 - 11 \cdot 0 & 1 - 11 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.7.2

Vereinfache $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & - \frac{7}{10} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 20 & - 6 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{112}{5} & \frac{137}{10} & \frac{5}{2} & \frac{11}{10} & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.8

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $\frac{1}{5}$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 4.8.1

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $\frac{1}{5}$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & - \frac{7}{10} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & 0 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{20}{5} & \frac{- 6}{5} & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 0 & \frac{112}{5} & \frac{137}{10} & \frac{5}{2} & \frac{11}{10} & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.8.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & - \frac{7}{10} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - \frac{6}{5} & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{112}{5} & \frac{137}{10} & \frac{5}{2} & \frac{11}{10} & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.9

Führe die Zeilenumformung $R_{4} = R_{4} - \frac{112}{5} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $4, 3$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.9.1

Führe die Zeilenumformung $R_{4} = R_{4} - \frac{112}{5} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $4, 3$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & - \frac{7}{10} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - \frac{6}{5} & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 - \frac{112}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{112}{5} \cdot 0 & \frac{112}{5} - \frac{112}{5} \cdot 1 & \frac{137}{10} - \frac{112}{5} \cdot 4 & \frac{5}{2} - \frac{112}{5} (- \frac{6}{5}) & \frac{11}{10} - \frac{112}{5} \cdot \frac{3}{5} & 0 - \frac{112}{5} \cdot \frac{1}{5} & 1 - \frac{112}{5} \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.9.2

Vereinfache $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & - \frac{7}{10} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - \frac{6}{5} & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - \frac{759}{10} & \frac{1469}{50} & - \frac{617}{50} & - \frac{112}{25} & 1 \end{array}]$

Schritt 4.10

Multipliziere jedes Element von $R_{4}$ mit $- \frac{10}{759}$ , um den Eintrag in $4, 4$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 4.10.1

Multipliziere jedes Element von $R_{4}$ mit $- \frac{10}{759}$ , um den Eintrag in $4, 4$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & - \frac{7}{10} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - \frac{6}{5} & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ - \frac{10}{759} \cdot 0 & - \frac{10}{759} \cdot 0 & - \frac{10}{759} \cdot 0 & - \frac{10}{759} (- \frac{759}{10}) & - \frac{10}{759} \cdot \frac{1469}{50} & - \frac{10}{759} (- \frac{617}{50}) & - \frac{10}{759} (- \frac{112}{25}) & - \frac{10}{759} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.10.2

Vereinfache $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & - \frac{7}{10} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - \frac{6}{5} & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1469}{3795} & \frac{617}{3795} & \frac{224}{3795} & - \frac{10}{759} \end{array}]$

Schritt 4.11

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 4 R_{4}$ aus, um den Eintrag in $3, 4$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.11.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 4 R_{4}$ aus, um den Eintrag in $3, 4$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & - \frac{7}{10} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 & 1 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & - \frac{6}{5} - 4 (- \frac{1469}{3795}) & \frac{3}{5} - 4 (\frac{617}{3795}) & \frac{1}{5} - 4 (\frac{224}{3795}) & 0 - 4 (- \frac{10}{759}) \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1469}{3795} & \frac{617}{3795} & \frac{224}{3795} & - \frac{10}{759} \end{array}]$

Schritt 4.11.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & - \frac{7}{10} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1322}{3795} & - \frac{191}{3795} & - \frac{137}{3795} & \frac{40}{759} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1469}{3795} & \frac{617}{3795} & \frac{224}{3795} & - \frac{10}{759} \end{array}]$

Schritt 4.12

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} + \frac{7}{10} R_{4}$ aus, um den Eintrag in $2, 4$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.12.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} + \frac{7}{10} R_{4}$ aus, um den Eintrag in $2, 4$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + \frac{7}{10} \cdot 0 & 1 + \frac{7}{10} \cdot 0 & \frac{8}{5} + \frac{7}{10} \cdot 0 & - \frac{7}{10} + \frac{7}{10} \cdot 1 & \frac{1}{2} + \frac{7}{10} (- \frac{1469}{3795}) & - \frac{1}{10} + \frac{7}{10} \cdot \frac{617}{3795} & 0 + \frac{7}{10} \cdot \frac{224}{3795} & 0 + \frac{7}{10} (- \frac{10}{759}) \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1322}{3795} & - \frac{191}{3795} & - \frac{137}{3795} & \frac{40}{759} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1469}{3795} & \frac{617}{3795} & \frac{224}{3795} & - \frac{10}{759} \end{array}]$

Schritt 4.12.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & 0 & \frac{4346}{18975} & \frac{262}{18975} & \frac{784}{18975} & - \frac{7}{759} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1322}{3795} & - \frac{191}{3795} & - \frac{137}{3795} & \frac{40}{759} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1469}{3795} & \frac{617}{3795} & \frac{224}{3795} & - \frac{10}{759} \end{array}]$

Schritt 4.13

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - \frac{8}{5} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $2, 3$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.13.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - \frac{8}{5} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $2, 3$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - \frac{8}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{8}{5} \cdot 0 & \frac{8}{5} - \frac{8}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{8}{5} \cdot 0 & \frac{4346}{18975} - \frac{8}{5} \cdot \frac{1322}{3795} & \frac{262}{18975} - \frac{8}{5} (- \frac{191}{3795}) & \frac{784}{18975} - \frac{8}{5} (- \frac{137}{3795}) & - \frac{7}{759} - \frac{8}{5} \cdot \frac{40}{759} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1322}{3795} & - \frac{191}{3795} & - \frac{137}{3795} & \frac{40}{759} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1469}{3795} & \frac{617}{3795} & \frac{224}{3795} & - \frac{10}{759} \end{array}]$

Schritt 4.13.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - \frac{1246}{3795} & \frac{358}{3795} & \frac{376}{3795} & - \frac{71}{759} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1322}{3795} & - \frac{191}{3795} & - \frac{137}{3795} & \frac{40}{759} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1469}{3795} & \frac{617}{3795} & \frac{224}{3795} & - \frac{10}{759} \end{array}]$

Schritt 4.14

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ aus, um den Eintrag in $1, 3$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.14.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ aus, um den Eintrag in $1, 3$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 + 5 \cdot 0 & - 2 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & 0 + 5 \cdot 0 & - 1 + 5 (\frac{1322}{3795}) & 0 + 5 (- \frac{191}{3795}) & 0 + 5 (- \frac{137}{3795}) & 0 + 5 (\frac{40}{759}) \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - \frac{1246}{3795} & \frac{358}{3795} & \frac{376}{3795} & - \frac{71}{759} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1322}{3795} & - \frac{191}{3795} & - \frac{137}{3795} & \frac{40}{759} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1469}{3795} & \frac{617}{3795} & \frac{224}{3795} & - \frac{10}{759} \end{array}]$

Schritt 4.14.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 0 & \frac{563}{759} & - \frac{191}{759} & - \frac{137}{759} & \frac{200}{759} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - \frac{1246}{3795} & \frac{358}{3795} & \frac{376}{3795} & - \frac{71}{759} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1322}{3795} & - \frac{191}{3795} & - \frac{137}{3795} & \frac{40}{759} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1469}{3795} & \frac{617}{3795} & \frac{224}{3795} & - \frac{10}{759} \end{array}]$

Schritt 4.15

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.15.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 & \frac{563}{759} + 2 (- \frac{1246}{3795}) & - \frac{191}{759} + 2 (\frac{358}{3795}) & - \frac{137}{759} + 2 (\frac{376}{3795}) & \frac{200}{759} + 2 (- \frac{71}{759}) \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - \frac{1246}{3795} & \frac{358}{3795} & \frac{376}{3795} & - \frac{71}{759} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1322}{3795} & - \frac{191}{3795} & - \frac{137}{3795} & \frac{40}{759} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1469}{3795} & \frac{617}{3795} & \frac{224}{3795} & - \frac{10}{759} \end{array}]$

Schritt 4.15.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{323}{3795} & - \frac{239}{3795} & \frac{67}{3795} & \frac{58}{759} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - \frac{1246}{3795} & \frac{358}{3795} & \frac{376}{3795} & - \frac{71}{759} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1322}{3795} & - \frac{191}{3795} & - \frac{137}{3795} & \frac{40}{759} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1469}{3795} & \frac{617}{3795} & \frac{224}{3795} & - \frac{10}{759} \end{array}]$

Schritt 5

Die rechte Hälfte der normierten Zeilenstufenform ist die Umkehrfunktion.

$[\begin{array}{c} \frac{323}{3795} & - \frac{239}{3795} & \frac{67}{3795} & \frac{58}{759} \\ - \frac{1246}{3795} & \frac{358}{3795} & \frac{376}{3795} & - \frac{71}{759} \\ \frac{1322}{3795} & - \frac{191}{3795} & - \frac{137}{3795} & \frac{40}{759} \\ - \frac{1469}{3795} & \frac{617}{3795} & \frac{224}{3795} & - \frac{10}{759} \end{array}]$