Algebra Beispiele

$\frac{a^{2} - 5}{a^{3} - 1} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{a^{2} - 5}{a^{3} - 1^{3}} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = a$ und $b = 1$ .

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1^{2})} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Schritt 1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Schritt 2

Um $- \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1} \cdot \frac{a - 1}{a - 1}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a - 1) (a^{2} + a + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$ mit $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a^{2} + a + 1) (a - 1)}$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $(a^{2} + a + 1) (a - 1)$ um.

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a^{2} - 5 - (a + 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} - 5 + (- a - 1 \cdot 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} - 5 + (- a - 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Schritt 5.3

Multipliziere $(- a - 1) (a - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} - 5 - a (a - 1) - 1 (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Schritt 5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} - 5 - a \cdot a - a \cdot - 1 - 1 (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Schritt 5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} - 5 - a \cdot a - a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Schritt 5.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1.1.1

Bewege $a$ .

$\frac{a^{2} - 5 - (a \cdot a) - a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Schritt 5.4.1.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} - a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Schritt 5.4.1.2

Multipliziere $- a \cdot - 1$ .

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Schritt 5.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + 1 a - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Schritt 5.4.1.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + a - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Schritt 5.4.1.3

Schreibe $- 1 a$ als $- a$ um.

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + a - a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Schritt 5.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + a - a + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Schritt 5.4.2

Subtrahiere $a$ von $a$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + 0 + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Schritt 5.4.3

Addiere $- a^{2}$ und $0$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Schritt 5.5

Subtrahiere $a^{2}$ von $a^{2}$ .

$\frac{0 - 5 + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Schritt 5.6

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$\frac{- 5 + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Schritt 5.7

Addiere $- 5$ und $1$ .

$\frac{- 4}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$