Algebra Beispiele

$\sin (- 6 x)$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$\sin (2 (- 3 x))$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$2 \sin (3 (- x)) \cos (- 3 x)$

Schritt 1.2.2

Wende die Dreifachwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 (- 4 \sin^{3} (- x) + 3 \sin (- x)) \cos (- 3 x)$

Schritt 1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1

Da $\sin (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- x)$ als $- \sin (x)$ .

$2 (- 4 {(- \sin (x))}^{3} + 3 \sin (- x)) \cos (- 3 x)$

Schritt 1.3.2

Wende die Produktregel auf $- \sin (x)$ an.

$2 (- 4 ({(- 1)}^{3} \sin^{3} (x)) + 3 \sin (- x)) \cos (- 3 x)$

Schritt 1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$2 (- 4 (- \sin^{3} (x)) + 3 \sin (- x)) \cos (- 3 x)$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$2 (4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (- x)) \cos (- 3 x)$

Schritt 1.3.5

Da $\sin (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- x)$ als $- \sin (x)$ .

$2 (4 \sin^{3} (x) + 3 (- \sin (x))) \cos (- 3 x)$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$2 (4 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)) \cos (- 3 x)$

Schritt 1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 (4 \sin^{3} (x)) + 2 (- 3 \sin (x))) \cos (- 3 x)$

Schritt 1.4.2

Multipliziere.

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Schritt 1.4.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$(8 \sin^{3} (x) + 2 (- 3 \sin (x))) \cos (- 3 x)$

Schritt 1.4.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$(8 \sin^{3} (x) - 6 \sin (x)) \cos (- 3 x)$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$(8 \sin^{3} (x) - 6 \sin (x)) \cos (3 (- x))$

Schritt 1.4.4

Benutze die Dreifachwinkelfunktion, um $\cos (3 x)$ in $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ umzuformen.

$(8 \sin^{3} (x) - 6 \sin (x)) (4 \cos^{3} (- x) - 3 \cos (- x))$

Schritt 1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1

Da $\cos (- x)$ eine gerade Funktion ist, schreibe $\cos (- x)$ als $\cos (x)$ .

$(8 \sin^{3} (x) - 6 \sin (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (- x))$

Schritt 1.5.2

Da $\cos (- x)$ eine gerade Funktion ist, schreibe $\cos (- x)$ als $\cos (x)$ .

$(8 \sin^{3} (x) - 6 \sin (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$

Schritt 2

Multipliziere $(8 \sin^{3} (x) - 6 \sin (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \sin^{3} (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \sin^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 8 \sin^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \sin^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 8 \sin^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x)) - 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 \cdot 4 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) + 8 \sin^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x)) - 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) + 8 \sin^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x)) - 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) - 24 \sin^{3} (x) \cos (x) - 6 \sin (x) (4 \cos^{3} (x)) - 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 6$ .

$32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) - 24 \sin^{3} (x) \cos (x) - 24 \sin (x) \cos^{3} (x) - 6 \sin (x) (- 3 \cos (x))$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 6$ .

$32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) - 24 \sin^{3} (x) \cos (x) - 24 \sin (x) \cos^{3} (x) + 18 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 3.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2 \sin (x) \cos (x)$ aus $32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) - 24 \sin^{3} (x) \cos (x) - 24 \sin (x) \cos^{3} (x) + 18 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $2 \sin (x) \cos (x)$ aus $32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x)$ heraus.

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) - 24 \sin^{3} (x) \cos (x) - 24 \sin (x) \cos^{3} (x) + 18 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $2 \sin (x) \cos (x)$ aus $- 24 \sin^{3} (x) \cos (x)$ heraus.

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 12 \sin^{2} (x)) - 24 \sin (x) \cos^{3} (x) + 18 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $2 \sin (x) \cos (x)$ aus $- 24 \sin (x) \cos^{3} (x)$ heraus.

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 12 \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 12 \cos^{2} (x)) + 18 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $2 \sin (x) \cos (x)$ aus $18 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 12 \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 12 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (9)$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $2 \sin (x) \cos (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 12 \sin^{2} (x))$ heraus.

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 12 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (9)$

Schritt 3.2.1.6

Faktorisiere $2 \sin (x) \cos (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 12 \cos^{2} (x))$ heraus.

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 \sin^{2} (x) - 12 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (9)$

Schritt 3.2.1.7

Faktorisiere $2 \sin (x) \cos (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 \sin^{2} (x) - 12 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) (9)$ heraus.

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 \sin^{2} (x) - 12 \cos^{2} (x) + 9)$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $- 12$ aus $- 12 \sin^{2} (x)$ heraus.

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 (\sin^{2} (x)) - 12 \cos^{2} (x) + 9)$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $- 12$ aus $- 12 \cos^{2} (x)$ heraus.

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 (\sin^{2} (x)) - 12 (\cos^{2} (x)) + 9)$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere $- 12$ aus $- 12 (\sin^{2} (x)) - 12 (\cos^{2} (x))$ heraus.

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 9)$

Schritt 4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 \cdot 1 + 9)$

Schritt 5

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 12 + 9)$

Schritt 5.2

Addiere $- 12$ und $9$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 3)$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sin (x) \cos (x) (16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 3$

Schritt 6

Multipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Bewege $\sin^{2} (x)$ .

$2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) (16 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 3$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin (x)$ .

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Schritt 6.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) (16 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 3$

Schritt 6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) (16 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 3$

Schritt 6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \sin^{3} (x) \cos (x) (16 \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 3$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$2 \sin^{3} (x) \cos (x) (16 \cos^{2} (x)) - 6 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1

Multipliziere $\cos (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1.1

Bewege $\cos^{2} (x)$ .

$2 \sin^{3} (x) (\cos^{2} (x) \cos (x)) \cdot 16 - 6 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ .

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Schritt 8.1.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 \sin^{3} (x) (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)) \cdot 16 - 6 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 8.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \sin^{3} (x) {\cos (x)}^{2 + 1} \cdot 16 - 6 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 8.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) \cdot 16 - 6 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$32 \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) - 6 \sin (x) \cos (x)$