Algebra Beispiele

$3 x - 2 y + 3 z = 5$ , $3 x + 2 y + 4 z = - 4$ , $- 5 x + 5 y - 4 z = - 2$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}]$

Schritt 2

Bestimme die Determinante der Koeffizientenmatrix $[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & - 4 \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & - 4 \end{array}]$ in Determinanten-Schreibweise.

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.2

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 2.2.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 2.2.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.2.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.2.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.2.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.2.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.2.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.2.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.3

Berechne $| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$ .

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Schritt 2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 (2 \cdot - 4 - 5 \cdot 4) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$3 (- 8 - 5 \cdot 4) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$3 (- 8 - 20) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $20$ von $- 8$ .

$3 \cdot - 28 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.4

Berechne $| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$ .

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Schritt 2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 \cdot - 28 + 2 (3 \cdot - 4 - (- 5 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$3 \cdot - 28 + 2 (- 12 - (- 5 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 5 \cdot 4)$ .

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Schritt 2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$3 \cdot - 28 + 2 (- 12 - - 20) + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 20$ .

$3 \cdot - 28 + 2 (- 12 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $- 12$ und $20$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 2.5

Berechne $| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$ .

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Schritt 2.5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 (3 \cdot 5 - (- 5 \cdot 2))$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 (15 - (- 5 \cdot 2))$

Schritt 2.5.2.1.2

Multipliziere $- (- 5 \cdot 2)$ .

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Schritt 2.5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 (15 - - 10)$

Schritt 2.5.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 (15 + 10)$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $15$ und $10$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 25$

Schritt 2.6

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 28$ .

$- 84 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 25$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$- 84 + 16 + 3 \cdot 25$

Schritt 2.6.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$- 84 + 16 + 75$

Schritt 2.6.2

Addiere $- 84$ und $16$ .

$- 68 + 75$

Schritt 2.6.3

Addiere $- 68$ und $75$ .

$7$

$D = 7$

Schritt 3

Da die Determinante nicht $0$ ist, kann das System mithilfe der cramerschen Regel gelöst werden.

Schritt 4

Ermittle den Wert von $x$ anhand der cramerschen Regel, die besagt, dass $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze die Spalte $1$ der Koeffizientenmatrix, die den $x$ -Koeffizienten des Systems entspricht, durch $[\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 & 3 \\ - 4 & 2 & 4 \\ - 2 & 5 & - 4 \end{array} |$

Schritt 4.2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 4.2.1

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Schritt 4.2.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 4.2.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 4.2.1.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$5 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$5 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.2

Berechne $| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$ .

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Schritt 4.2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$5 (2 \cdot - 4 - 5 \cdot 4) + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$5 (- 8 - 5 \cdot 4) + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$5 (- 8 - 20) + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.2.2.2

Subtrahiere $20$ von $- 8$ .

$5 \cdot - 28 + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.3

Berechne $| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$5 \cdot - 28 + 2 (- 4 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$5 \cdot - 28 + 2 (16 - (- 2 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2.1.2

Multipliziere $- (- 2 \cdot 4)$ .

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Schritt 4.2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$5 \cdot - 28 + 2 (16 - - 8) + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$5 \cdot - 28 + 2 (16 + 8) + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $16$ und $8$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Schritt 4.2.4

Berechne $| \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$ .

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Schritt 4.2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 (- 4 \cdot 5 - (- 2 \cdot 2))$

Schritt 4.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 (- 20 - (- 2 \cdot 2))$

Schritt 4.2.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 2 \cdot 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 (- 20 - - 4)$

Schritt 4.2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 (- 20 + 4)$

Schritt 4.2.4.2.2

Addiere $- 20$ und $4$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 \cdot - 16$

Schritt 4.2.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.5.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 28$ .

$- 140 + 2 \cdot 24 + 3 \cdot - 16$

Schritt 4.2.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$- 140 + 48 + 3 \cdot - 16$

Schritt 4.2.5.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 16$ .

$- 140 + 48 - 48$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $- 140$ und $48$ .

$- 92 - 48$

Schritt 4.2.5.3

Subtrahiere $48$ von $- 92$ .

$- 140$

$D_{x} = - 140$

Schritt 4.3

Wende die Formel an, um $x$ zu lösen.

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 4.4

Setze $7$ für $D$ und $- 140$ für $D_{x}$ in die Formel ein.

$x = \frac{- 140}{7}$

Schritt 4.5

Dividiere $- 140$ durch $7$ .

$x = - 20$

Schritt 5

Ermittle den Wert von $y$ anhand der cramerschen Regel, die besagt, dass $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze die Spalte $2$ der Koeffizientenmatrix, die den $y$ -Koeffizienten des Systems entspricht, durch $[\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 3 & 5 & 3 \\ 3 & - 4 & 4 \\ - 5 & - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 5.2.1

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Schritt 5.2.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.2.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 5.2.1.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$3 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$3 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.2

Berechne $| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 (- 4 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 4)) - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$3 (16 - (- 2 \cdot 4)) - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 2 \cdot 4)$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$3 (16 - - 8) - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$3 (16 + 8) - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.2

Addiere $16$ und $8$ .

$3 \cdot 24 - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.3

Berechne $| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 \cdot 24 - 5 (3 \cdot - 4 - (- 5 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$3 \cdot 24 - 5 (- 12 - (- 5 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Multipliziere $- (- 5 \cdot 4)$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$3 \cdot 24 - 5 (- 12 - - 20) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 20$ .

$3 \cdot 24 - 5 (- 12 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.2

Addiere $- 12$ und $20$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Schritt 5.2.4

Berechne $| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 (3 \cdot - 2 - (- 5 \cdot - 4))$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 (- 6 - (- 5 \cdot - 4))$

Schritt 5.2.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 5 \cdot - 4)$ .

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Schritt 5.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 4$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 (- 6 - 1 \cdot 20)$

Schritt 5.2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 (- 6 - 20)$

Schritt 5.2.4.2.2

Subtrahiere $20$ von $- 6$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 \cdot - 26$

Schritt 5.2.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.5.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $24$ .

$72 - 5 \cdot 8 + 3 \cdot - 26$

Schritt 5.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$72 - 40 + 3 \cdot - 26$

Schritt 5.2.5.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 26$ .

$72 - 40 - 78$

Schritt 5.2.5.2

Subtrahiere $40$ von $72$ .

$32 - 78$

Schritt 5.2.5.3

Subtrahiere $78$ von $32$ .

$- 46$

$D_{y} = - 46$

Schritt 5.3

Wende die Formel an, um $y$ zu lösen.

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 5.4

Setze $7$ für $D$ und $- 46$ für $D_{y}$ in die Formel ein.

$y = \frac{- 46}{7}$

Schritt 5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{46}{7}$

Schritt 6

Ermittle den Wert von $z$ anhand der cramerschen Regel, die besagt, dass $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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Schritt 6.1

Ersetze die Spalte $3$ der Koeffizientenmatrix, die den $z$ -Koeffizienten des Systems entspricht, durch $[\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 & 5 \\ 3 & 2 & - 4 \\ - 5 & 5 & - 2 \end{array} |$

Schritt 6.2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 6.2.1

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Schritt 6.2.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 6.2.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 6.2.1.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 5 & - 2 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$3 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 5 & - 2 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$3 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 5 & - 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 6.2.2

Berechne $| \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 5 & - 2 \end{array} |$ .

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Schritt 6.2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 (2 \cdot - 2 - 5 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$3 (- 4 - 5 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 4$ .

$3 (- 4 + 20) + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2.2

Addiere $- 4$ und $20$ .

$3 \cdot 16 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 6.2.3

Berechne $| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$ .

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Schritt 6.2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 \cdot 16 + 2 (3 \cdot - 2 - (- 5 \cdot - 4)) + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$3 \cdot 16 + 2 (- 6 - (- 5 \cdot - 4)) + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2.1.2

Multipliziere $- (- 5 \cdot - 4)$ .

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Schritt 6.2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 4$ .

$3 \cdot 16 + 2 (- 6 - 1 \cdot 20) + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$3 \cdot 16 + 2 (- 6 - 20) + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2.2

Subtrahiere $20$ von $- 6$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Schritt 6.2.4

Berechne $| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$ .

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Schritt 6.2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 (3 \cdot 5 - (- 5 \cdot 2))$

Schritt 6.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.4.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 (15 - (- 5 \cdot 2))$

Schritt 6.2.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 5 \cdot 2)$ .

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Schritt 6.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 (15 - - 10)$

Schritt 6.2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 (15 + 10)$

Schritt 6.2.4.2.2

Addiere $15$ und $10$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 \cdot 25$

Schritt 6.2.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.5.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$48 + 2 \cdot - 26 + 5 \cdot 25$

Schritt 6.2.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 26$ .

$48 - 52 + 5 \cdot 25$

Schritt 6.2.5.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$48 - 52 + 125$

Schritt 6.2.5.2

Subtrahiere $52$ von $48$ .

$- 4 + 125$

Schritt 6.2.5.3

Addiere $- 4$ und $125$ .

$121$

$D_{z} = 121$

Schritt 6.3

Wende die Formel an, um $z$ zu lösen.

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Schritt 6.4

Setze $7$ für $D$ und $121$ für $D_{z}$ in die Formel ein.

$z = \frac{121}{7}$

Schritt 7

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = - 20$

$y = - \frac{46}{7}$

$z = \frac{121}{7}$