Algebra Beispiele

$2 y^{2} + x + 28 y + 90 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{2} + 28 y + 90 = - x$

Schritt 1.2

Subtrahiere $90$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{2} + 28 y = - x - 90$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = 28$

$c = 0 = - x - 90$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = - x - 90$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{28}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $28$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $28$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 14}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 14}{2 (2)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 14}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{14}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 7}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 (1)}$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{7}{1}$

Schritt 2.3.2.2.2.4

Dividiere $7$ durch $1$ .

$d = 7$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{28^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $28$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{784}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{784}{8}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere $784$ durch $8$ .

$e = 0 - 1 \cdot 98$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $98$ .

$e = 0 - 98$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $98$ von $0$ .

$e = - 98$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(y + 7)}^{2} - 98$ ein.

$2 {(y + 7)}^{2} - 98 = - x - 90$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $98$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 {(y + 7)}^{2} = - x - 90 + 98$

Schritt 3.2

Addiere $- 90$ und $98$ .

$2 {(y + 7)}^{2} = - x + 8$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 {(y + 7)}^{2} = - x + 8$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 {(y + 7)}^{2} = - x + 8$ durch $2$ .

$\frac{2 {(y + 7)}^{2}}{2} = \frac{- x}{2} + \frac{8}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {(y + 7)}^{2}}{2} = \frac{- x}{2} + \frac{8}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere ${(y + 7)}^{2}$ durch $1$ .

${(y + 7)}^{2} = \frac{- x}{2} + \frac{8}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(y + 7)}^{2} = - \frac{x}{2} + \frac{8}{2}$

Schritt 4.3.1.2

Dividiere $8$ durch $2$ .

${(y + 7)}^{2} = - \frac{x}{2} + 4$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

${(y + 7)}^{2} = - \frac{x}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.2

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2}$ .

${(y + 7)}^{2} = - \frac{x}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(y + 7)}^{2} = \frac{- x + 4 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

${(y + 7)}^{2} = \frac{- x + 8}{2}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

${(y + 7)}^{2} = \frac{- (x) + 8}{2}$

Schritt 5.6

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

${(y + 7)}^{2} = \frac{- (x) - 1 (- 8)}{2}$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 8)$ heraus.

${(y + 7)}^{2} = \frac{- (x - 8)}{2}$

Schritt 5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(y + 7)}^{2} = - \frac{x - 8}{2}$

Schritt 5.9

Stelle die Terme um.

${(y + 7)}^{2} = - (\frac{1}{2} (x - 8))$

Schritt 5.10

Entferne die Klammern.

${(y + 7)}^{2} = - \frac{1}{2} (x - 8)$