Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $g (x) = \sqrt{2 + x}$

Schritt 1

Bestimme den Quotienten der Funktionen.

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Schritt 1.1

Ersetze die Funktionsbezeichner durch die tatsächlichen Funktionen in $\frac{f (x)}{g (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{2 + x}}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + x}}$

Schritt 1.2.2

Kombinieren.

$\frac{1 \cdot 1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$ mit $\frac{\sqrt{2 + x}}{\sqrt{2 + x}}$ .

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}} \cdot \frac{\sqrt{2 + x}}{\sqrt{2 + x}}$

Schritt 1.2.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$ mit $\frac{\sqrt{2 + x}}{\sqrt{2 + x}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} \sqrt{2 + x} \sqrt{2 + x}}$

Schritt 1.2.5.2

Bewege $\sqrt{2 + x}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} (\sqrt{2 + x} \sqrt{2 + x})}$

Schritt 1.2.5.3

Potenziere $\sqrt{2 + x}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} ({\sqrt{2 + x}}^{1} \sqrt{2 + x})}$

Schritt 1.2.5.4

Potenziere $\sqrt{2 + x}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} ({\sqrt{2 + x}}^{1} {\sqrt{2 + x}}^{1})}$

Schritt 1.2.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {\sqrt{2 + x}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {\sqrt{2 + x}}^{2}}$

Schritt 1.2.5.7

Schreibe ${\sqrt{2 + x}}^{2}$ als $2 + x$ um.

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Schritt 1.2.5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 + x}$ als ${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {({(2 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{1}}$

Schritt 1.2.5.7.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} (2 + x)}$

Schritt 2

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 + x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 + x \geq 0$

Schritt 3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 2$

Schritt 4

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} (2 + x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} (2 + x) = 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 + x = 0$

Schritt 5.2

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 5.2.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.2.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.2.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.3

Setze $2 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Setze $2 + x$ gleich $0$ .

$2 + x = 0$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 5.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (2 + x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2$

Schritt 6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > - 2, x \neq 0}$

Schritt 7