Algebra Beispiele

$f (x) = - 4 x^{2} - 20 x + 5$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - 4 x^{2} - 20 x + 5$ als Gleichung.

$y = - 4 x^{2} - 20 x + 5$

Schritt 2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 4 x^{2} - 20 x + 5 = y$

Schritt 3

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x^{2} - 20 x = y - 5$

Schritt 4

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 4.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 4$

$b = - 20$

$c = 0 = y - 5$

Schritt 4.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = y - 5$

Schritt 4.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 20}{2 \cdot - 4}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 20$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot - 4}$

Schritt 4.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 (- 4)}$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot - 4}$

Schritt 4.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 10}{- 4}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $- 4$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 10$ heraus.

$d = \frac{- 2 (5)}{- 4}$

Schritt 4.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{2}$

Schritt 4.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 20)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{400}{4 \cdot - 4}$

Schritt 4.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$e = 0 - \frac{400}{- 16}$

Schritt 4.4.2.1.3

Dividiere $400$ durch $- 16$ .

$e = 0 - - 25$

Schritt 4.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 25$ .

$e = 0 + 25$

Schritt 4.4.2.2

Addiere $0$ und $25$ .

$e = 25$

Schritt 4.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} + 25$ ein.

$- 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} + 25 = y - 5$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y - 5 - 25$

Schritt 5.2

Subtrahiere $25$ von $- 5$ .

$- 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y - 30$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $- 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y - 30$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y - 30$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2}}{- 4} = \frac{y}{- 4} + \frac{- 30}{- 4}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2}}{- 4} = \frac{y}{- 4} + \frac{- 30}{- 4}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere ${(x + \frac{5}{2})}^{2}$ durch $1$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{y}{- 4} + \frac{- 30}{- 4}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{y}{4} + \frac{- 30}{- 4}$

Schritt 6.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 30$ und $- 4$ .

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Schritt 6.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 30$ heraus.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{y}{4} + \frac{- 2 (15)}{- 4}$

Schritt 6.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.1.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4$ heraus.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{y}{4} + \frac{- 2 \cdot 15}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{y}{4} + \frac{- 2 \cdot 15}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 6.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{y}{4} + \frac{15}{2}$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Um $\frac{15}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{y}{4} + \frac{15}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{15}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{y}{4} + \frac{15 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{y}{4} + \frac{15 \cdot 2}{4}$

Schritt 7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- y + 15 \cdot 2}{4}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- y + 30}{4}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- (y) + 30}{4}$

Schritt 7.6

Schreibe $30$ als $- 1 (- 30)$ um.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- (y) - 1 (- 30)}{4}$

Schritt 7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 30)$ heraus.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- (y - 30)}{4}$

Schritt 7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{y - 30}{4}$

Schritt 7.9

Stelle die Terme um.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - (\frac{1}{4} (y - 30))$

Schritt 7.10

Entferne die Klammern.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{1}{4} (y - 30)$