Algebra Beispiele

$y = 7 x - 3$ $y = - 2 x^{2} + 1$

Schritt 1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$7 x - 3 = - 2 x^{2} + 1$

Schritt 2

Löse $7 x - 3 = - 2 x^{2} + 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $2 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 x - 3 + 2 x^{2} = 1$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x - 3 + 2 x^{2} - 1 = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $1$ von $- 3$ .

$7 x + 2 x^{2} - 4 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$7 u + 2 u^{2} - 4 = 0$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.4.2.1

Stelle die Terme um.

$2 u^{2} + 7 u - 4 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 2.4.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7 u$ heraus.

$2 u^{2} + 7 (u) - 4 = 0$

Schritt 2.4.2.2.2

Schreibe $7$ um als $- 1$ plus $8$

$2 u^{2} + (- 1 + 8) u - 4 = 0$

Schritt 2.4.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} - 1 u + 8 u - 4 = 0$

Schritt 2.4.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.4.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 u^{2} - 1 u) + 8 u - 4 = 0$

Schritt 2.4.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (2 u - 1) + 4 (2 u - 1) = 0$

Schritt 2.4.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 4) = 0$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(2 x - 1) (x + 4) = 0$

Schritt 2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0 + y = - 2 x^{2} + 1$

Schritt 2.6

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 2.6.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.7

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, - 4$

Schritt 3

Berechne $y$ bei $x = \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$y = - 2 {(\frac{1}{2})}^{2} + 1$

Schritt 3.2

Vereinfache $- 2 {(\frac{1}{2})}^{2} + 1$ .

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$y = - 2 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1$

Schritt 3.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = - 2 \frac{1}{2^{2}} + 1$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = - 2 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = 2 (- 1) \frac{1}{4} + 1$

Schritt 3.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + 1$

Schritt 3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + 1$

Schritt 3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - 1 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 3.2.1.5

Schreibe $- 1 (\frac{1}{2})$ als $- (\frac{1}{2})$ um.

$y = - \frac{1}{2} + 1$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 1 + 2}{2}$

Schritt 3.2.2.3

Addiere $- 1$ und $2$ .

$y = \frac{1}{2}$

Schritt 4

Berechne $y$ bei $x = - 4$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $x$ durch $- 4$ .

$y = - 2 {(- 4)}^{2} + 1$

Schritt 4.2

Vereinfache $- 2 {(- 4)}^{2} + 1$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$y = - 2 \cdot 16 + 1$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $16$ .

$y = - 32 + 1$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 32$ und $1$ .

$y = - 31$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

$(- 4, - 31)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (- 4, - 31)$

Gleichungsform:

$x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2}$

$x = - 4, y = - 31$

Schritt 7