Algebra Beispiele

${(1 + \cot (x))}^{2} = \csc^{2} (x) + 2 \cot (x)$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\csc^{2} (x) + 2 \cot (x)$

Schritt 2

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + \cot^{2} (x) + 2 \cot (x)$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + 2 \cot (x)$

Schritt 3.2

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ an.

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.2

Um $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${\sin (x)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Schritt 4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2} + 2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $\cos (x)$ aus ${\cos (x)}^{2} + 2 \cos (x) \sin (x)$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus ${\cos (x)}^{2}$ heraus.

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $2 \cos (x) \sin (x)$ heraus.

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (2 \sin (x))$ heraus.

$1 + \frac{\cos (x) (\cos (x) + 2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) (\cos (x) + 2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + \cos (x) (\cos (x) + 2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.8

Vereinfache den Zähler.

$\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$ als ${(1 + \cot (x))}^{2}$ um.

${(1 + \cot (x))}^{2}$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

${(1 + \cot (x))}^{2} = \csc^{2} (x) + 2 \cot (x)$ ist eine Identitätsgleichung