Algebra Beispiele

$(\sqrt{2}, - \frac{π}{4})$

Schritt 1

Benutze die Umrechnungsformeln, um von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umzurechnen.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Schritt 2

Setze die bekannten Werte von $r = \sqrt{2}$ und $θ = - \frac{π}{4}$ in die Formeln ein.

$x = (\sqrt{2}) \cos (- \frac{π}{4})$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 3

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$x = \sqrt{2} \cos (\frac{7 π}{4})$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$x = \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4})$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 6

Multipliziere $\sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 6.1

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 6.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 6.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

$x = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

$x = \frac{2}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 7.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{2}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

$x = \frac{2}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 8

Dividiere $2$ durch $2$ .

$x = 1$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Schritt 9

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$x = 1$

$y = \sqrt{2} \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 10

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$x = 1$

$y = \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 11

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1$

$y = \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 12

Multipliziere $\sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Schritt 12.1

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1$

$y = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 12.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = 1$

$y = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 12.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = 1$

$y = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 12.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = 1$

$y = - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Schritt 12.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = 1$

$y = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$x = 1$

$y = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Schritt 13

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 13.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = 1$

$y = - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Schritt 13.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 1$

$y = - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Schritt 13.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = 1$

$y = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 1$

$y = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 13.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 1$

$y = - \frac{2}{2}$

$x = 1$

$y = - \frac{2}{2}$

Schritt 13.5

Berechne den Exponenten.

$x = 1$

$y = - \frac{2}{2}$

$x = 1$

$y = - \frac{2}{2}$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 1$

$y = - \frac{2}{2}$

Schritt 14.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 1$

$y = - 1 \cdot 1$

$x = 1$

$y = - 1 \cdot 1$

Schritt 15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = 1$

$y = - 1$

Schritt 16

Die kartesische Darstellung des Punktes mit den Polarkoordinaten $(\sqrt{2}, - \frac{π}{4})$ ist $(1, - 1)$ .

$(1, - 1)$