Algebra Beispiele

${(2 x)}^{2} - 3 y^{2} + 4 x = - 1$ $y = 2$

Schritt 1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1

Ersetze alle $y$ in ${(2 x)}^{2} - 3 y^{2} + 4 x = - 1$ durch $2$ .

${(2 x)}^{2} - 3 {(2)}^{2} + 4 x = - 1$

$y = 2$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$2^{2} x^{2} - 3 {(2)}^{2} + 4 x = - 1$

$y = 2$

Schritt 1.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{2} - 3 {(2)}^{2} + 4 x = - 1$

$y = 2$

Schritt 1.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{2} - 3 \cdot 4 + 4 x = - 1$

$y = 2$

Schritt 1.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$4 x^{2} - 12 + 4 x = - 1$

$y = 2$

$4 x^{2} - 12 + 4 x = - 1$

$y = 2$

$4 x^{2} - 12 + 4 x = - 1$

$y = 2$

$4 x^{2} - 12 + 4 x = - 1$

$y = 2$

Schritt 2

Löse in $4 x^{2} - 12 + 4 x = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.1.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 12 + 4 x + 1 = 0$

$y = 2$

Schritt 2.1.2

Addiere $- 12$ und $1$ .

$4 x^{2} + 4 x - 11 = 0$

$y = 2$

$4 x^{2} + 4 x - 11 = 0$

$y = 2$

Schritt 2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$y = 2$

Schritt 2.3

Setze die Werte $a = 4$ , $b = 4$ und $c = - 11$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 11)}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 11$ .

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Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 11$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 176}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 176}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.4.1.3

Addiere $16$ und $176$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{192}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.4.1.4

Schreibe $192$ als $8^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.4.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $192$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.4.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

$x = \frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{8}$

$y = 2$

Schritt 2.4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

$x = \frac{- 1 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 11$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 11$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 176}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 176}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.5.1.3

Addiere $16$ und $176$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{192}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $192$ als $8^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $192$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.5.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

$x = \frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{8}$

$y = 2$

Schritt 2.5.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Schritt 2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Schritt 2.5.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Schritt 2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- 2 \sqrt{3})}{2}$

$y = 2$

Schritt 2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- 2 \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - 2 \sqrt{3})}{2}$

$y = 2$

Schritt 2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

$x = - \frac{1 - 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 11$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 11$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 176}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 176}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.6.1.3

Addiere $16$ und $176$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{192}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $192$ als $8^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.6.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $192$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.6.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

$x = \frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

$y = 2$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{8}$

$y = 2$

Schritt 2.6.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 8 \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Schritt 2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Schritt 2.6.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Schritt 2.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (2 \sqrt{3})}{2}$

$y = 2$

Schritt 2.6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (2 \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + 2 \sqrt{3})}{2}$

$y = 2$

Schritt 2.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

$x = - \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - 2 \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

$x = - \frac{1 - 2 \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{2}$

$y = 2$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

$x = - \frac{1 - 2 \sqrt{3}}{2}, y = 2$

Schritt 4

Löse das Gleichungssystem.

$x = - \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{2}, y = 2$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- \frac{1 - 2 \sqrt{3}}{2}, 2)$

$(- \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{2}, 2)$