Algebra Beispiele

$\frac{1}{3 x} - \frac{2}{7 x} > \frac{1}{3}$

Schritt 1

Löse $0 < x < \frac{1}{7}$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{1}{3 x} - \frac{2}{7 x}$ .

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Schritt 1.1.1

Um $\frac{1}{3 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{3 x} \cdot \frac{7}{7} - \frac{2}{7 x} > \frac{1}{3}$

Schritt 1.1.2

Um $- \frac{2}{7 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3 x} \cdot \frac{7}{7} - \frac{2}{7 x} \cdot \frac{3}{3} > \frac{1}{3}$

Schritt 1.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $21 x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 x}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{3 x \cdot 7} - \frac{2}{7 x} \cdot \frac{3}{3} > \frac{1}{3}$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\frac{7}{21 x} - \frac{2}{7 x} \cdot \frac{3}{3} > \frac{1}{3}$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{2}{7 x}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{21 x} - \frac{2 \cdot 3}{7 x \cdot 3} > \frac{1}{3}$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{7}{21 x} - \frac{2 \cdot 3}{21 x} > \frac{1}{3}$

Schritt 1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 - 2 \cdot 3}{21 x} > \frac{1}{3}$

Schritt 1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{7 - 6}{21 x} > \frac{1}{3}$

Schritt 1.1.5.2

Subtrahiere $6$ von $7$ .

$\frac{1}{21 x} > \frac{1}{3}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $21 x$ .

$\frac{1}{21 x} (21 x) = \frac{1}{3} (21 x)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.1.1

Vereinfache $\frac{1}{21 x} (21 x)$ .

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Schritt 1.3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$21 \frac{1}{21 x} x = \frac{1}{3} (21 x)$

Schritt 1.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $21$ .

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Schritt 1.3.1.1.2.1

Faktorisiere $21$ aus $21 x$ heraus.

$21 \frac{1}{21 (x)} x = \frac{1}{3} (21 x)$

Schritt 1.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$21 \frac{1}{21 x} x = \frac{1}{3} (21 x)$

Schritt 1.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{3} (21 x)$

Schritt 1.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{3} (21 x)$

Schritt 1.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{1}{3} (21 x)$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $21 x$ heraus.

$1 = \frac{1}{3} (3 (7 x))$

Schritt 1.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{1}{3} (3 (7 x))$

Schritt 1.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$1 = 7 x$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Schreibe die Gleichung als $7 x = 1$ um.

$7 x = 1$

Schritt 1.4.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 1$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 1$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{7}$

Schritt 1.5

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{1}{21 x} - \frac{1}{3}$ .

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Schritt 1.5.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{21 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$21 x = 0$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $21 x = 0$ durch $21$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $21 x = 0$ durch $21$ .

$\frac{21 x}{21} = \frac{0}{21}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $21$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{21 x}{21} = \frac{0}{21}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{21}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Dividiere $0$ durch $21$ .

$x = 0$

Schritt 1.5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 1.6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{7}$

$x > \frac{1}{7}$

Schritt 1.7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 1.7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{3 (- 2)} - \frac{2}{7 (- 2)} > \frac{1}{3}$

Schritt 1.7.1.3

Die linke Seite $- 0.0\overline{238095}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0.\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 1.7.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{1}{7}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{1}{7}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.07$

Schritt 1.7.2.2

Ersetze $x$ durch $0.07$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{3 (0.07)} - \frac{2}{7 (0.07)} > \frac{1}{3}$

Schritt 1.7.2.3

Die linke Seite $0.6802721$ ist größer als die rechte Seite $0.\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 1.7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{1}{7}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{1}{7}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 1.7.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{3 (3)} - \frac{2}{7 (3)} > \frac{1}{3}$

Schritt 1.7.3.3

Die linke Seite $0.\overline{015873}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0.\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 1.7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{7}$ Wahr

$x > \frac{1}{7}$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{7}$ Wahr

$x > \frac{1}{7}$ Falsch

Schritt 1.8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < \frac{1}{7}$

Schritt 2

Verwende die Ungleichung $0 < x < \frac{1}{7}$ , um die Mengenschreibweise aufzustellen.

${x | 0 < x < \frac{1}{7}}$

Schritt 3