Algebra Beispiele

$y = \sqrt{x (x + 6)}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x (x + 6)}$ als ${(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x (x + 6)$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x (x + 6)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x (x + 6)$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Schritt 4.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Schritt 4.6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x (x + 6))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x (x + 6))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Schritt 4.6.3

Bringe ${(x (x + 6))}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 6$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [x + 6] + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.8

Differenziere.

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Schritt 4.8.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x (1 + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.8.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x (1 + 0) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.8.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.8.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x \cdot 1 + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.8.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.8.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x + (x + 6) \cdot 1)$

Schritt 4.8.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.8.6.1

Mutltipliziere $x + 6$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x + x + 6)$

Schritt 4.8.6.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6)$

Schritt 4.9

Vereinfache.

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Schritt 4.9.1

Wende die Produktregel auf $x (x + 6)$ an.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})} (2 x + 6)$

Schritt 4.9.2

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6)$ um.

$(2 x + 6) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.3

Mutltipliziere $2 x + 6$ mit $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 6}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) + 6}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.5

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (3)$ heraus.

$\frac{2 (x + 3)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (x + 3)}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.9.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x + 3)}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.9.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 3}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{x + 3}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 3}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$