Algebra Beispiele

$\log (b x) - \log (b \cdot 5) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{b x}{b \cdot 5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{b x}{b \cdot 5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{x}{5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $b$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 \cdot b) - \log (b) (x - 3)$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - \log (b) x - \log (b) \cdot - 3$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - \log (b) x + 3 \log (b)$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Stelle die Faktoren in $\log (2 b) - \log (b) x + 3 \log (b)$ um.

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - x \log (b) + 3 \log (b)$

Schritt 2.2.2

Stelle $\log (2 b)$ und $- x \log (b)$ um.

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b) + 3 \log (b)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $- x \log (b) + \log (2 b) + 3 \log (b)$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $3 \log (b)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b) + \log (b^{3})$

Schritt 3.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b \cdot b^{3})$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $b$ mit $b^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.3.1

Bewege $b^{3}$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 (b^{3} b))$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $b^{3}$ mit $b$ .

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Schritt 3.1.3.2.1

Potenziere $b$ mit $1$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 (b^{3} b^{1}))$

Schritt 3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b^{3 + 1})$

Schritt 3.1.3.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b^{4})$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log (\frac{x}{5}) + x \log (b) - \log (2 b^{4}) = 0$

Schritt 5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \log (b) + \log (\frac{\frac{x}{5}}{2 b^{4}}) = 0$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x \log (b) + \log (\frac{x}{5} \cdot \frac{1}{2 b^{4}}) = 0$

Schritt 6.2

Kombinieren.

$x \log (b) + \log (\frac{x \cdot 1}{5 (2 b^{4})}) = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x \log (b) + \log (\frac{x}{5 \cdot (2 b^{4})}) = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$x \log (b) + \log (\frac{x}{10 b^{4}}) = 0$

Schritt 7

Schreibe $\log (\frac{x}{10 b^{4}}) = - x \log (b)$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{- x \log (b)} = \frac{x}{10 b^{4}}$

Schritt 8

Löse nach $b$ auf.

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Schritt 8.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (10^{- x \log (b)}) = \ln (\frac{x}{10 b^{4}})$

Schritt 8.2

Zerlege $\ln (10^{- x \log (b)})$ durch Herausziehen von $- x \log (b)$ aus dem Logarithmus.

$- x \log (b) \ln (10) = \ln (\frac{x}{10 b^{4}})$