Algebra Beispiele

$2 - \frac{\sqrt{21}}{3}$ , $2 + \frac{\sqrt{21}}{3}$

Schritt 1

$x = 2 - \frac{\sqrt{21}}{3}$ und $x = 2 + \frac{\sqrt{21}}{3}$ sind die beiden voneinander verschiedenen reellen Lösungen für die quadratische Gleichung, was bedeutet, dass $x - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3}$ und $x - 2 + \frac{\sqrt{21}}{3}$ die Faktoren der quadratischen Gleichung sind.

$(x - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3}) (x - 2 + \frac{\sqrt{21}}{3}) = 0$

Schritt 2

Multipliziere $(x - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3}) (x - 2 + \frac{\sqrt{21}}{3})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + x (\frac{\sqrt{21}}{3}) - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} x - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + x \frac{\sqrt{21}}{3} - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} x - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

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Schritt 3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \frac{\sqrt{21}}{3}$ und $- \frac{\sqrt{21}}{3} x$ neu an.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + \frac{\sqrt{21}}{3} x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} x - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $\frac{\sqrt{21}}{3} x$ von $\frac{\sqrt{21}}{3} x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 0 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Schritt 3.1.3

Addiere $x \cdot x + x \cdot - 2$ und $0$ .

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Schritt 3.2.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 2 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 + \frac{- 2 \sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Schritt 3.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{(2) \sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Schritt 3.2.6

Multipliziere $- \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Schritt 3.2.6.2

Kombiniere $2$ und $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Schritt 3.2.7

Multipliziere $- \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

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Schritt 3.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{21}}{3}$ mit $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} = 0$

Schritt 3.2.7.2

Potenziere $\sqrt{21}$ mit $1$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} = 0$

Schritt 3.2.7.3

Potenziere $\sqrt{21}$ mit $1$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} = 0$

Schritt 3.2.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} = 0$

Schritt 3.2.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3 \cdot 3} = 0$

Schritt 3.2.7.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{{\sqrt{21}}^{2}}{9} = 0$

Schritt 3.2.8

Schreibe ${\sqrt{21}}^{2}$ als $21$ um.

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Schritt 3.2.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{21}$ als $21^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} = 0$

Schritt 3.2.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} = 0$

Schritt 3.2.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{21^{\frac{2}{2}}}{9} = 0$

Schritt 3.2.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{21^{\frac{2}{2}}}{9} = 0$

Schritt 3.2.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{21}{9} = 0$

Schritt 3.2.8.5

Berechne den Exponenten.

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{21}{9} = 0$

Schritt 3.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $9$ .

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Schritt 3.2.9.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{3 (7)}{9} = 0$

Schritt 3.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} = 0$

Schritt 3.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} = 0$

Schritt 3.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{7}{3} = 0$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{7}{3}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $- \frac{2 \sqrt{21}}{3}$ und $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 + 0 - \frac{7}{3} = 0$

Schritt 3.3.1.2

Addiere $x^{2} - 2 x - 2 x + 4$ und $0$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{7}{3} = 0$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$x^{2} - 4 x + 4 - \frac{7}{3} = 0$

Schritt 4

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - 4 x + 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{7}{3} = 0$

Schritt 5

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{7}{3} = 0$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - 4 x + \frac{4 \cdot 3 - 7}{3} = 0$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{12 - 7}{3} = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $7$ von $12$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{5}{3} = 0$

Schritt 8

Die Normalform der quadratischen Gleichung basierend auf der gegebenen Lösungsmenge ${2 - \frac{\sqrt{21}}{3}, 2 + \frac{\sqrt{21}}{3}}$ ist $y = x^{2} - 4 x + \frac{5}{3}$ .

$y = x^{2} - 4 x + \frac{5}{3}$

Schritt 9