Algebra Beispiele

$4 x^{2} - 4 x - 8 y + 9 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $8 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 4 x + 9 = 8 y$

Schritt 1.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 4 x = 8 y - 9$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = - 4$

$c = 0 = 8 y - 9$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = 8 y - 9$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (4)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{4}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 (- 1)}{4}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 4)}^{2}$ und $4$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (4)$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.1.4

Mutltipliziere $4^{2}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 4$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (4)}$

Schritt 2.4.2.1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 2.4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$e = - 1$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$ ein.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1 = 8 y - 9$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} = 8 y - 9 + 1$

Schritt 3.2

Addiere $- 9$ und $1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} = 8 y - 8$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} = 8 y - 8$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} = 8 y - 8$ durch $4$ .

$\frac{4 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{4} = \frac{8 y}{4} + \frac{- 8}{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{4} = \frac{8 y}{4} + \frac{- 8}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere ${(x - \frac{1}{2})}^{2}$ durch $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{8 y}{4} + \frac{- 8}{4}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 y$ heraus.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{4 (2 y)}{4} + \frac{- 8}{4}$

Schritt 4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{4 (2 y)}{4 (1)} + \frac{- 8}{4}$

Schritt 4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{4 (2 y)}{4 \cdot 1} + \frac{- 8}{4}$

Schritt 4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2 y}{1} + \frac{- 8}{4}$

Schritt 4.3.1.1.2.4

Dividiere $2 y$ durch $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = 2 y + \frac{- 8}{4}$

Schritt 4.3.1.2

Dividiere $- 8$ durch $4$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = 2 y - 2$

Schritt 5

Faktorisiere $2$ aus $2 y - 2$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = 2 (y) - 2$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = 2 (y) + 2 (- 1)$

Schritt 5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (y) + 2 (- 1)$ heraus.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = 2 (y - 1)$