Algebra Beispiele

$y = - \frac{1}{6} x^{2} + 7 x - 80$

Schritt 1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- \frac{1}{6} x^{2} + 7 x - 80 = y$

Schritt 2

Addiere $80$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{6} x^{2} + 7 x = y + 80$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 3.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + 7 x = y + 80$

Schritt 3.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{6}$

$b = 7$

$c = 0 = y + 80$

Schritt 3.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 80$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{7}{2 (- \frac{1}{6})}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = \frac{7}{- 2 (\frac{1}{6})}$

Schritt 3.4.2.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{6}$ .

$d = \frac{7}{\frac{- 2}{6}}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $6$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{7}{\frac{2 (- 1)}{6}}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{7}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

Schritt 3.4.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{7}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

Schritt 3.4.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{7}{\frac{- 1}{3}}$

Schritt 3.4.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = \frac{7}{- \frac{1}{3}}$

Schritt 3.4.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 7 (- 1 \cdot 3)$

Schritt 3.4.2.4

Multipliziere $7 (- 1 \cdot 3)$ .

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Schritt 3.4.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$d = 7 \cdot - 3$

Schritt 3.4.2.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 3$ .

$d = - 21$

Schritt 3.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{7^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{49}{4 (- \frac{1}{6})}$

Schritt 3.5.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{49}{- 4 (\frac{1}{6})}$

Schritt 3.5.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{6}$ .

$e = 0 - \frac{49}{\frac{- 4}{6}}$

Schritt 3.5.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $6$ .

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Schritt 3.5.2.1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$e = 0 - \frac{49}{\frac{2 (- 2)}{6}}$

Schritt 3.5.2.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$e = 0 - \frac{49}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Schritt 3.5.2.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{49}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Schritt 3.5.2.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{49}{\frac{- 2}{3}}$

Schritt 3.5.2.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = 0 - \frac{49}{- \frac{2}{3}}$

Schritt 3.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (49 (- \frac{3}{2}))$

Schritt 3.5.2.1.5

Multipliziere $49 (- \frac{3}{2})$ .

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Schritt 3.5.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$e = 0 - (- 49 (\frac{3}{2}))$

Schritt 3.5.2.1.5.2

Kombiniere $- 49$ und $\frac{3}{2}$ .

$e = 0 - \frac{- 49 \cdot 3}{2}$

Schritt 3.5.2.1.5.3

Mutltipliziere $- 49$ mit $3$ .

$e = 0 - \frac{- 147}{2}$

Schritt 3.5.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = 0 - - \frac{147}{2}$

Schritt 3.5.2.1.7

Multipliziere $- - \frac{147}{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{147}{2})$

Schritt 3.5.2.1.7.2

Mutltipliziere $\frac{147}{2}$ mit $1$ .

$e = 0 + \frac{147}{2}$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $0$ und $\frac{147}{2}$ .

$e = \frac{147}{2}$

Schritt 3.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{6} {(x - 21)}^{2} + \frac{147}{2}$ ein.

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} + \frac{147}{2} = y + 80$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $\frac{147}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + 80 - \frac{147}{2}$

Schritt 4.2

Um $80$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + 80 \cdot \frac{2}{2} - \frac{147}{2}$

Schritt 4.3

Kombiniere $80$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + \frac{80 \cdot 2}{2} - \frac{147}{2}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + \frac{80 \cdot 2 - 147}{2}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $80$ mit $2$ .

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + \frac{160 - 147}{2}$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $147$ von $160$ .

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + \frac{13}{2}$

Schritt 5

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + \frac{13}{2}$ mit $- 6$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + \frac{13}{2}$ mit $- 6$ .

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} \cdot - 6 = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere ${(x - 21)}^{2}$ und $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{{(x - 21)}^{2}}{6} \cdot - 6 = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{{(x - 21)}^{2}}{6}$ in den Zähler.

$\frac{- {(x - 21)}^{2}}{6} \cdot - 6 = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Schritt 5.2.2.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{- {(x - 21)}^{2}}{6} \cdot (6 (- 1)) = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- {(x - 21)}^{2}}{6} \cdot (6 \cdot - 1) = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Schritt 5.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- {(x - 21)}^{2} \cdot - 1 = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Schritt 5.2.3

Multipliziere.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 {(x - 21)}^{2} = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere ${(x - 21)}^{2}$ mit $1$ .

${(x - 21)}^{2} = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $y$ .

${(x - 21)}^{2} = - 6 \cdot y + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Schritt 5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

${(x - 21)}^{2} = - 6 y + \frac{13}{2} \cdot (2 (- 3))$

Schritt 5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 21)}^{2} = - 6 y + \frac{13}{2} \cdot (2 \cdot - 3)$

Schritt 5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(x - 21)}^{2} = - 6 y + 13 \cdot - 3$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $13$ mit $- 3$ .

${(x - 21)}^{2} = - 6 y - 39$

Schritt 6

Faktorisiere $3$ aus $- 6 y - 39$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 y$ heraus.

${(x - 21)}^{2} = 3 (- 2 y) - 39$

Schritt 6.2

Faktorisiere $3$ aus $- 39$ heraus.

${(x - 21)}^{2} = 3 (- 2 y) + 3 (- 13)$

Schritt 6.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 2 y) + 3 (- 13)$ heraus.

${(x - 21)}^{2} = 3 (- 2 y - 13)$