Algebra Beispiele

$2 x - 5 = - 5 y - z$ , $- 2 z = 4 y - 3 x - 7$ , $x + 2 y + z = - 4$

Schritt 1

Wähle zwei Gleichungen und eliminiere eine Variable. In diesem Fall eliminiere $z$ .

$2 x - 5 = - 5 y - z$

$- 2 z = 4 y - 3 x - 7$

Schritt 2

Eliminiere $z$ aus dem System.

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Schritt 2.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1

Stelle $4 y$ und $- 3 x$ um.

$- 2 z = - 3 x + 4 y - 7$

$2 x - 5 = - 5 y - z$

$- 2 z = - 3 x + 4 y - 7$

$2 x - 5 = - 5 y - z$

Schritt 2.2

Move all terms containing variables to the left.

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Schritt 2.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 5 y - z + 5, - 2 z = - 3 x + 4 y - 7$

Schritt 2.2.2

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $5 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x + 5 y = - z + 5, - 2 z = - 3 x + 4 y - 7$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x + 5 y + z = 5, - 2 z = - 3 x + 4 y - 7$

Schritt 2.2.3

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.3.1

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x + 5 y + z = 5, - 2 z + 3 x = 4 y - 7$

Schritt 2.2.3.2

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x + 5 y + z = 5, - 2 z + 3 x - 4 y = - 7$

Schritt 2.3

Stelle das Polynom um.

$3 x - 2 z - 4 y = - 7$

$2 x + 5 y + z = 5$

Schritt 2.4

Bewege $- 2 z$ .

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

$2 x + 5 y + z = 5$

Schritt 2.5

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $z$ umkehrt.

$(2) \cdot (2 x + 5 y + z) = (2) (5)$

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.1.1

Vereinfache $(2) \cdot (2 x + 5 y + z)$ .

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Schritt 2.6.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 x) + 2 (5 y) + 2 z = (2) (5)$

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

Schritt 2.6.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + 2 (5 y) + 2 z = (2) (5)$

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

Schritt 2.6.1.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$4 x + 10 y + 2 z = (2) (5)$

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

$4 x + 10 y + 2 z = (2) (5)$

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

$4 x + 10 y + 2 z = (2) (5)$

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

$4 x + 10 y + 2 z = (2) (5)$

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$4 x + 10 y + 2 z = 10$

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

$4 x + 10 y + 2 z = 10$

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

$4 x + 10 y + 2 z = 10$

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

Schritt 2.7

Addiere die beiden Gleichungen, um $z$ aus dem System zu beseitigen.

	$4$	$x$	$+$	$1$	$0$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$	$1$	$0$
$+$	$3$	$x$		$-$	$4$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$7$
	$7$	$x$	$+$		$6$	$y$				$=$		$3$

Schritt 2.8

In der resultierenden Gleichung ist $z$ eliminiert.

$7 x + 6 y = 3$

Schritt 3

Wähle zwei weitere Gleichungen und eliminiere $z$ .

$- 2 z = 4 y - 3 x - 7$

$x + 2 y + z = - 4$

Schritt 4

Eliminiere $z$ aus dem System.

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Schritt 4.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.1

Stelle $4 y$ und $- 3 x$ um.

$- 2 z = - 3 x + 4 y - 7$

$x + 2 y + z = - 4$

$- 2 z = - 3 x + 4 y - 7$

$x + 2 y + z = - 4$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 z + 3 x = 4 y - 7, x + 2 y + z = - 4$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 z + 3 x - 4 y = - 7, x + 2 y + z = - 4$

Schritt 4.3

Stelle das Polynom um.

$3 x - 2 z - 4 y = - 7$

$x + 2 y + z = - 4$

Schritt 4.4

Bewege $- 2 z$ .

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

$x + 2 y + z = - 4$

Schritt 4.5

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $z$ umkehrt.

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

$(2) \cdot (x + 2 y + z) = (2) (- 4)$

Schritt 4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.1.1

Vereinfache $(2) \cdot (x + 2 y + z)$ .

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Schritt 4.6.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

$2 x + 2 (2 y) + 2 z = (2) (- 4)$

Schritt 4.6.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

$2 x + 4 y + 2 z = (2) (- 4)$

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

$2 x + 4 y + 2 z = (2) (- 4)$

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

$2 x + 4 y + 2 z = (2) (- 4)$

Schritt 4.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

$2 x + 4 y + 2 z = - 8$

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

$2 x + 4 y + 2 z = - 8$

$3 x - 4 y - 2 z = - 7$

$2 x + 4 y + 2 z = - 8$

Schritt 4.7

Addiere die beiden Gleichungen, um $z$ aus dem System zu beseitigen.

	$3$	$x$	$-$	$4$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$7$
$+$	$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$	$-$	$8$
	$5$	$x$							$=$	$-$	$1$	$5$

Schritt 4.8

In der resultierenden Gleichung ist $z$ eliminiert.

$5 x = - 15$

Schritt 5

Nimm die resultierenden Gleichungen und eliminiere eine weitere Variable. Eliminiere in diesem Fall $x$ .

$7 x + 6 y = 3$

$5 x = - 15$

Schritt 6

Eliminiere $x$ aus dem System.

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Schritt 6.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $x$ umkehrt.

$(- 5) \cdot (7 x + 6 y) = (- 5) (3)$

$(7) \cdot (5 x) = (7) (- 15)$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $(- 5) \cdot (7 x + 6 y)$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 (7 x) - 5 (6 y) = (- 5) (3)$

$(7) \cdot (5 x) = (7) (- 15)$

Schritt 6.2.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 5$ .

$- 35 x - 5 (6 y) = (- 5) (3)$

$(7) \cdot (5 x) = (7) (- 15)$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 5$ .

$- 35 x - 30 y = (- 5) (3)$

$(7) \cdot (5 x) = (7) (- 15)$

$- 35 x - 30 y = (- 5) (3)$

$(7) \cdot (5 x) = (7) (- 15)$

$- 35 x - 30 y = (- 5) (3)$

$(7) \cdot (5 x) = (7) (- 15)$

$- 35 x - 30 y = (- 5) (3)$

$(7) \cdot (5 x) = (7) (- 15)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$- 35 x - 30 y = - 15$

$(7) \cdot (5 x) = (7) (- 15)$

$- 35 x - 30 y = - 15$

$(7) \cdot (5 x) = (7) (- 15)$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$- 35 x - 30 y = - 15$

$35 x = (7) (- 15)$

$- 35 x - 30 y = - 15$

$35 x = (7) (- 15)$

Schritt 6.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 15$ .

$- 35 x - 30 y = - 15$

$35 x = - 105$

$- 35 x - 30 y = - 15$

$35 x = - 105$

$- 35 x - 30 y = - 15$

$35 x = - 105$

Schritt 6.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$3$	$5$	$x$	$-$	$3$	$0$	$y$	$=$		$-$	$1$	$5$
$+$		$3$	$5$	$x$					$=$	$-$	$1$	$0$	$5$
					$-$	$3$	$0$	$y$	$=$	$-$	$1$	$2$	$0$

Schritt 6.4

In der resultierenden Gleichung ist $x$ eliminiert.

$- 30 y = - 120$

Schritt 6.5

Teile jeden Ausdruck in $- 30 y = - 120$ durch $- 30$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 30 y = - 120$ durch $- 30$ .

$\frac{- 30 y}{- 30} = \frac{- 120}{- 30}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 30$ .

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Schritt 6.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 30 y}{- 30} = \frac{- 120}{- 30}$

Schritt 6.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 120}{- 30}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.3.1

Dividiere $- 120$ durch $- 30$ .

$y = 4$

Schritt 7

Setze den Wert von $y$ in eine Gleichung ein, aus der $z$ bereits eliminiert wurde und löse nach der verbleibenden Variablen auf.

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Schritt 7.1

Setze den Wert von $y$ in eine Gleichung ein, aus der $z$ bereits eliminiert wurde.

$7 x + 6 (4) = 3$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$7 x + 24 = 3$

Schritt 7.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $24$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = 3 - 24$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $24$ von $3$ .

$7 x = - 21$

Schritt 7.2.3

Teile jeden Ausdruck in $7 x = - 21$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = - 21$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 21}{7}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 7.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 21}{7}$

Schritt 7.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 21}{7}$

Schritt 7.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.3.1

Dividiere $- 21$ durch $7$ .

$x = - 3$

Schritt 8

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein und löse nach der letzten Variablen auf.

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Schritt 8.1

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein.

$2 (- 3) - 5 = - 5 \cdot 4 - z$

Schritt 8.2

Löse nach $z$ auf.

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Schritt 8.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 5 \cdot 4 - z = 2 (- 3) - 5$ um.

$- 5 \cdot 4 - z = 2 (- 3) - 5$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$- 20 - z = 2 (- 3) - 5$

Schritt 8.2.3

Vereinfache $2 (- 3) - 5$ .

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Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- 20 - z = - 6 - 5$

Schritt 8.2.3.2

Subtrahiere $5$ von $- 6$ .

$- 20 - z = - 11$

Schritt 8.2.4

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.4.1

Addiere $20$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- z = - 11 + 20$

Schritt 8.2.4.2

Addiere $- 11$ und $20$ .

$- z = 9$

Schritt 8.2.5

Teile jeden Ausdruck in $- z = 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- z = 9$ durch $- 1$ .

$\frac{- z}{- 1} = \frac{9}{- 1}$

Schritt 8.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{z}{1} = \frac{9}{- 1}$

Schritt 8.2.5.2.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{9}{- 1}$

Schritt 8.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.5.3.1

Dividiere $9$ durch $- 1$ .

$z = - 9$

Schritt 9

Die Lösung des Gleichungssystems kann durch einen Punkt dargestellt werden.

$(- 3, 4, - 9)$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 3, 4, - 9)$

Gleichungsform:

$x = - 3, y = 4, z = - 9$

	$4$	$x$	$+$	$1$	$0$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$	$1$	$0$
$+$	$3$	$x$		$-$	$4$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$7$
	$7$	$x$	$+$		$6$	$y$				$=$		$3$

	$3$	$x$	$-$	$4$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$7$
$+$	$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$	$-$	$8$
	$5$	$x$							$=$	$-$	$1$	$5$

	$-$	$3$	$5$	$x$	$-$	$3$	$0$	$y$	$=$		$-$	$1$	$5$
$+$		$3$	$5$	$x$					$=$	$-$	$1$	$0$	$5$
					$-$	$3$	$0$	$y$	$=$	$-$	$1$	$2$	$0$

	$4$	$x$	$+$	$1$	$0$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$	$1$	$0$
$+$	$3$	$x$		$-$	$4$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$7$
	$7$	$x$	$+$		$6$	$y$				$=$		$3$

	$3$	$x$	$-$	$4$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$7$
$+$	$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$	$-$	$8$
	$5$	$x$							$=$	$-$	$1$	$5$

	$-$	$3$	$5$	$x$	$-$	$3$	$0$	$y$	$=$		$-$	$1$	$5$
$+$		$3$	$5$	$x$					$=$	$-$	$1$	$0$	$5$
					$-$	$3$	$0$	$y$	$=$	$-$	$1$	$2$	$0$

	$4$	$x$	$+$	$1$	$0$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$	$1$	$0$
$+$	$3$	$x$		$-$	$4$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$7$
	$7$	$x$	$+$		$6$	$y$				$=$		$3$

	$3$	$x$	$-$	$4$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$7$
$+$	$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$+$	$2$	$z$	$=$	$-$	$8$
	$5$	$x$							$=$	$-$	$1$	$5$

	$-$	$3$	$5$	$x$	$-$	$3$	$0$	$y$	$=$		$-$	$1$	$5$
$+$		$3$	$5$	$x$					$=$	$-$	$1$	$0$	$5$
					$-$	$3$	$0$	$y$	$=$	$-$	$1$	$2$	$0$