Algebra Beispiele

$f (x) = 5 (x^{2} + 8 x + 16) - 5 \cdot 16$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 5 (x^{2} + 8 x + 16) - 5 \cdot 16$ als Gleichung.

$y = 5 (x^{2} + 8 x + 16) - 5 \cdot 16$

Schritt 2

Vereinfache $5 (x^{2} + 8 x + 16) - 5 \cdot 16$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 5 x^{2} + 5 (8 x) + 5 \cdot 16 - 5 \cdot 16$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$y = 5 x^{2} + 40 x + 5 \cdot 16 - 5 \cdot 16$

Schritt 2.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $16$ .

$y = 5 x^{2} + 40 x + 80 - 5 \cdot 16$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $16$ .

$y = 5 x^{2} + 40 x + 80 - 80$

Schritt 2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 x^{2} + 40 x + 80 - 80$ .

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $80$ von $80$ .

$y = 5 x^{2} + 40 x + 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $5 x^{2} + 40 x$ und $0$ .

$y = 5 x^{2} + 40 x$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung auf $5 x^{2} + 40 x$ an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 5$

$b = 40$

$c = 0$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{40}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40$ und $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $40$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 5$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (5)}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{20}{5}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $5$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$d = \frac{5 \cdot 4}{5}$

Schritt 3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$d = \frac{5 \cdot 4}{5 (1)}$

Schritt 3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{1}$

Schritt 3.3.2.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$d = 4$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 5}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Potenziere $40$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot 5}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$e = 0 - \frac{1600}{20}$

Schritt 3.4.2.1.3

Dividiere $1600$ durch $20$ .

$e = 0 - 1 \cdot 80$

Schritt 3.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $80$ .

$e = 0 - 80$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $80$ von $0$ .

$e = - 80$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $5 {(x + 4)}^{2} - 80$ ein.

$5 {(x + 4)}^{2} - 80$

Schritt 4

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 5 {(x + 4)}^{2} - 80$