Algebra Beispiele

$y = 5 x^{2} + 5 x - 10$

Schritt 1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$5 x^{2} + 5 x - 10 = y$

Schritt 2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} + 5 x = y + 10$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 5$

$b = 5$

$c = 0 = y + 10$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 10$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{5}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{5}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{2}$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 5}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5^{2}$ und $5$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 5}$

Schritt 3.4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $4 \cdot 5$ heraus.

$e = 0 - \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 4}$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 4}$

Schritt 3.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{5}{4}$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $\frac{5}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{5}{4}$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $5 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{5}{4}$ ein.

$5 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{5}{4} = y + 10$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Addiere $\frac{5}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 {(x + \frac{1}{2})}^{2} = y + 10 + \frac{5}{4}$

Schritt 4.2

Um $10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$5 {(x + \frac{1}{2})}^{2} = y + 10 \cdot \frac{4}{4} + \frac{5}{4}$

Schritt 4.3

Kombiniere $10$ und $\frac{4}{4}$ .

$5 {(x + \frac{1}{2})}^{2} = y + \frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{5}{4}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 {(x + \frac{1}{2})}^{2} = y + \frac{10 \cdot 4 + 5}{4}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$5 {(x + \frac{1}{2})}^{2} = y + \frac{40 + 5}{4}$

Schritt 4.5.2

Addiere $40$ und $5$ .

$5 {(x + \frac{1}{2})}^{2} = y + \frac{45}{4}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $5 {(x + \frac{1}{2})}^{2} = y + \frac{45}{4}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $5 {(x + \frac{1}{2})}^{2} = y + \frac{45}{4}$ durch $5$ .

$\frac{5 {(x + \frac{1}{2})}^{2}}{5} = \frac{y}{5} + \frac{\frac{45}{4}}{5}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 {(x + \frac{1}{2})}^{2}}{5} = \frac{y}{5} + \frac{\frac{45}{4}}{5}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere ${(x + \frac{1}{2})}^{2}$ durch $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y}{5} + \frac{\frac{45}{4}}{5}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y}{5} + \frac{45}{4} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $45$ heraus.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y}{5} + \frac{5 (9)}{4} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y}{5} + \frac{5 \cdot 9}{4} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y}{5} + \frac{9}{4}$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Um $\frac{y}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 6.2

Um $\frac{9}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 6.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $20$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{y}{5}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{9}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y \cdot 4}{20} + \frac{9}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $\frac{5}{5}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y \cdot 4}{20} + \frac{9 \cdot 5}{4 \cdot 5}$

Schritt 6.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y \cdot 4}{20} + \frac{9 \cdot 5}{20}$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y \cdot 4 + 9 \cdot 5}{20}$

Schritt 6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{4 y + 9 \cdot 5}{20}$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{4 y + 45}{20}$

Schritt 6.6

Stelle die Terme um.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{20} (4 y + 45)$