Algebra Beispiele

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 8$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(1)}^{4} + 6 {(1)}^{3} + 7 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 8$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 6 {(1)}^{3} + 7 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 8$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 6 \cdot 1 + 7 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 8$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$1 + 6 + 7 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 8$

Schritt 4.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 6 + 7 \cdot 1 - 6 \cdot 1 - 8$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$1 + 6 + 7 - 6 \cdot 1 - 8$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$1 + 6 + 7 - 6 - 8$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ und $6$ .

$7 + 7 - 6 - 8$

Schritt 4.2.2

Addiere $7$ und $7$ .

$14 - 6 - 8$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $6$ von $14$ .

$8 - 8$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$0$

Schritt 5

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 8}{x - 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(6)$ .

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$
	$1$	$7$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(7)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(7)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(7)$ .

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$
	$1$	$7$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$
	$1$	$7$	$14$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(14)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(14)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 6)$ .

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$	$14$
	$1$	$7$	$14$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$	$14$
	$1$	$7$	$14$	$8$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(8)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(8)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 8)$ .

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$	$14$	$8$
	$1$	$7$	$14$	$8$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$	$14$	$8$
	$1$	$7$	$14$	$8$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 7 x^{2} + (14) x + 8$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{3} + 8 + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Schritt 7.1.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x^{3} + 2^{3} + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Schritt 7.1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Schritt 7.1.4

Vereinfache.

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Schritt 7.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Schritt 7.1.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Schritt 7.1.5

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x^{2} + 14 x$ heraus.

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Schritt 7.1.5.1

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x^{2}$ heraus.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x) + 14 x = 0$

Schritt 7.1.5.2

Faktorisiere $7 x$ aus $14 x$ heraus.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x) + 7 x (2) = 0$

Schritt 7.1.5.3

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x (x) + 7 x (2)$ heraus.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x + 2) = 0$

Schritt 7.1.6

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x + 2)$ heraus.

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Schritt 7.1.6.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $7 x (x + 2)$ heraus.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (7 x) = 0$

Schritt 7.1.6.2

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (7 x)$ heraus.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4 + 7 x) = 0$

Schritt 7.1.7

Addiere $- 2 x$ und $7 x$ .

$(x + 2) (x^{2} + 5 x + 4) = 0$

Schritt 7.1.8

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.8.1

Faktorisiere $x^{2} + 5 x + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.8.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $5$ ist.

$1, 4$

Schritt 7.1.8.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 2) ((x + 1) (x + 4)) = 0$

Schritt 7.1.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x + 1) (x + 4) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 7.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 7.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 7.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 7.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x + 1) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, - 1, - 4$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x - 1) (x + 2) (x + 1) (x + 4)$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 8$ .

$x = 1, - 2, - 1, - 4$

Schritt 10