Algebra Beispiele

$(\sqrt{2}, \sqrt{12})$ , $(\sqrt{8}, \sqrt{32})$

Schritt 1

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$(\sqrt{2}, \sqrt{4 (3)}) - (\sqrt{8}, \sqrt{32})$

Schritt 1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(\sqrt{2}, \sqrt{2^{2} \cdot 3}) - (\sqrt{8}, \sqrt{32})$

Schritt 2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$(\sqrt{2}, 2 \sqrt{3}) - (\sqrt{8}, \sqrt{32})$

Schritt 3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$(\sqrt{2}, 2 \sqrt{3}) - (\sqrt{4 (2)}, \sqrt{32})$

Schritt 3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(\sqrt{2}, 2 \sqrt{3}) - (\sqrt{2^{2} \cdot 2}, \sqrt{32})$

Schritt 4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$(\sqrt{2}, 2 \sqrt{3}) - (2 \sqrt{2}, \sqrt{32})$

Schritt 5

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$(\sqrt{2}, 2 \sqrt{3}) - (2 \sqrt{2}, \sqrt{16 (2)})$

Schritt 5.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(\sqrt{2}, 2 \sqrt{3}) - (2 \sqrt{2}, \sqrt{4^{2} \cdot 2})$

Schritt 6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$(\sqrt{2}, 2 \sqrt{3}) - (2 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2})$

Schritt 7

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 8

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

$\sqrt{{(2 \sqrt{2} - \sqrt{2})}^{2} + {(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 9.1.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 9.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 9.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 9.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 9.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2^{1} + {(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 9.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{2 + {(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 9.1.3

Schreibe ${(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}^{2}$ als $(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) (4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})$ um.

$\sqrt{2 + (4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) (4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.2

Multipliziere $(4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) (4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2 + 4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2 + 4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2}) + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2 + 4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2}) + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1.1

Multipliziere $4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2})$ .

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Schritt 9.3.1.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\sqrt{2 + 16 \sqrt{2} \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{2 + 16 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.1.1.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{2 + 16 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{2 + 16 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{2 + 16 {\sqrt{2}}^{2} + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{2 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{2 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{2 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2 + 16 \cdot 2^{1} + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{2 + 16 \cdot 2 + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.1.3

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$\sqrt{2 + 32 + 4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.1.4

Multipliziere $4 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3})$ .

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Schritt 9.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{2} \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.1.4.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{3 \cdot 2} - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.1.5

Multipliziere $- 2 \sqrt{3} (4 \sqrt{2})$ .

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Schritt 9.3.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{3} \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.1.5.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{2 \cdot 3} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.1.6

Multipliziere $- 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})$ .

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Schritt 9.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 9.3.1.6.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Schritt 9.3.1.6.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Schritt 9.3.1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 9.3.1.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 9.3.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 \cdot 3^{1}}$

Schritt 9.3.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 4 \cdot 3}$

Schritt 9.3.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\sqrt{2 + 32 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} + 12}$

Schritt 9.3.2

Addiere $32$ und $12$ .

$\sqrt{2 + 44 - 8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6}}$

Schritt 9.3.3

Subtrahiere $8 \sqrt{6}$ von $- 8 \sqrt{6}$ .

$\sqrt{2 + 44 - 16 \sqrt{6}}$

Schritt 9.4

Addiere $2$ und $44$ .

$\sqrt{46 - 16 \sqrt{6}}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{46 - 16 \sqrt{6}}$

Dezimalform:

$2.60924589 \dots$

Schritt 11