Algebra Beispiele

$f (x) = x - 6 \sqrt{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6 \sqrt{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt{x}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt{x}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 \sqrt{x}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.1.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.1.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 1.1.2.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 1.1.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.2.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 - 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.1.2.10

Kombiniere $- 6$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$1 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.1.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2.12

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$1 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$1 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 1.1.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 1 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $1 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $1 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$1 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{\frac{1}{2}}, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 3 = - x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{\frac{1}{2}} = - 3$ um.

$- x^{\frac{1}{2}} = - 3$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{\frac{1}{2}} = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{\frac{1}{2}} = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{\frac{1}{2}}}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2

Dividiere $x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 3$

Schritt 2.5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.4.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 3^{2}$

Schritt 2.5.4.1.1.2

Vereinfache.

$x = 3^{2}$

Schritt 2.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.4.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = 9$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$1 - \frac{3}{\sqrt{x^{1}}}$

Schritt 3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$1 - \frac{3}{\sqrt{x}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{3}{\sqrt{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 3.5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 4

Werte $x - 6 \sqrt{x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 9$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $9$ .

$(9) - 6 \sqrt{9}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$9 - 6 \sqrt{3^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$9 - 6 \cdot 3$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$9 - 18$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $18$ von $9$ .

$- 9$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$(0) - 6 \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$0 - 6 \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$0 - 6 \cdot 0$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(9, - 9), (0, 0)$

Schritt 5