Algebra Beispiele

$- \frac{1}{5}$ , $- \frac{1}{3}$

Schritt 1

$x = - \frac{1}{5}$ und $x = - \frac{1}{3}$ sind die beiden voneinander verschiedenen reellen Lösungen für die quadratische Gleichung, was bedeutet, dass $x + \frac{1}{5}$ und $x + \frac{1}{3}$ die Faktoren der quadratischen Gleichung sind.

$(x + \frac{1}{5}) (x + \frac{1}{3}) = 0$

Schritt 2

Multipliziere $(x + \frac{1}{5}) (x + \frac{1}{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + \frac{1}{3}) + \frac{1}{5} \cdot (x + \frac{1}{3}) = 0$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{5} \cdot (x + \frac{1}{3}) = 0$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{5} x + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = 0$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{5} x + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = 0$

Schritt 3.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{5} x + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = 0$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = 0$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} = 0$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{5} + \frac{1}{15} = 0$

Schritt 3.2

Um $\frac{x}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{x}{5} + \frac{1}{15} = 0$

Schritt 3.3

Um $\frac{x}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{x}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{15} = 0$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{x}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{15} = 0$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot 5}{15} + \frac{x}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{15} = 0$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{x}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot 5}{15} + \frac{x \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{1}{15} = 0$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot 5}{15} + \frac{x \cdot 3}{15} + \frac{1}{15} = 0$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{x \cdot 5 + x \cdot 3}{15} + \frac{1}{15} = 0$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{x \cdot 5 + x \cdot 3 + 1}{15} = 0$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + \frac{5 \cdot x + x \cdot 3 + 1}{15} = 0$

Schritt 5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + \frac{5 x + 3 x + 1}{15} = 0$

Schritt 6

Addiere $5 x$ und $3 x$ .

$x^{2} + \frac{8 x + 1}{15} = 0$

Schritt 7

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$x^{2} \cdot \frac{15}{15} + \frac{8 x + 1}{15} = 0$

Schritt 8

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{15}{15}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 15}{15} + \frac{8 x + 1}{15} = 0$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 15 + 8 x + 1}{15} = 0$

Schritt 10

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 10.1

Stelle die Terme um.

$\frac{15 x^{2} + 8 x + 1}{15} = 0$

Schritt 10.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 15 \cdot 1 = 15$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{15 x^{2} + 8 (x) + 1}{15} = 0$

Schritt 10.2.2

Schreibe $8$ um als $3$ plus $5$

$\frac{15 x^{2} + (3 + 5) x + 1}{15} = 0$

Schritt 10.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{15 x^{2} + 3 x + 5 x + 1}{15} = 0$

Schritt 10.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 10.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(15 x^{2} + 3 x) + 5 x + 1}{15} = 0$

Schritt 10.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 x (5 x + 1) + 1 (5 x + 1)}{15} = 0$

Schritt 10.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x + 1$ .

$\frac{(5 x + 1) (3 x + 1)}{15} = 0$

Schritt 11

Multipliziere $(5 x + 1) (3 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1)}{15} = 0$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x (3 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (3 x + 1)}{15} = 0$

Schritt 11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x (3 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Schritt 12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 \cdot (3 x \cdot x) + 5 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Schritt 12.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{5 \cdot (3 (x \cdot x)) + 5 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Schritt 12.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 \cdot (3 x^{2}) + 5 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Schritt 12.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{15 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 5 x + 1 (3 x) + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Schritt 12.1.5

Mutltipliziere $3 x$ mit $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 5 x + 3 x + 1 \cdot 1}{15} = 0$

Schritt 12.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 5 x + 3 x + 1}{15} = 0$

Schritt 12.2

Addiere $5 x$ und $3 x$ .

$\frac{15 x^{2} + 8 x + 1}{15} = 0$

Schritt 13

Zerlege den Bruch $\frac{15 x^{2} + 8 x + 1}{15}$ in zwei Brüche.

$\frac{15 x^{2} + 8 x}{15} + \frac{1}{15} = 0$

Schritt 14

Zerlege den Bruch $\frac{15 x^{2} + 8 x}{15}$ in zwei Brüche.

$\frac{15 x^{2}}{15} + \frac{8 x}{15} + \frac{1}{15} = 0$

Schritt 15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 x^{2}}{15} + \frac{8 x}{15} + \frac{1}{15} = 0$

Schritt 15.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{15} + \frac{1}{15} = 0$

Schritt 16

Die Normalform der quadratischen Gleichung basierend auf der gegebenen Lösungsmenge ${- \frac{1}{5}, - \frac{1}{3}}$ ist $y = x^{2} + \frac{8 x}{15} + \frac{1}{15}$ .

$y = x^{2} + \frac{8 x}{15} + \frac{1}{15}$

Schritt 17