Algebra Beispiele

$4 x^{2} + 4 x - 8$

Schritt 1

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{4}{2 (4)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{4}{2 (4)}$

Schritt 2.3

Vereinfache $- \frac{4}{2 (4)}$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot 2}{2 (4)}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{2}{4}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = - \frac{2 (1)}{4}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Berechne $f (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 4 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 8$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f (- \frac{1}{2}) = 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 4 (- \frac{1}{2}) - 8$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (- \frac{1}{2}) = 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 4 (- \frac{1}{2}) - 8$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 4 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 4 (- \frac{1}{2}) - 8$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 4 (- \frac{1}{2}) - 8$

Schritt 3.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{2^{2}}) + 4 (- \frac{1}{2}) - 8$

Schritt 3.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4}) + 4 (- \frac{1}{2}) - 8$

Schritt 3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4}) + 4 (- \frac{1}{2}) - 8$

Schritt 3.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{2}) = 1 + 4 (- \frac{1}{2}) - 8$

Schritt 3.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{1}{2}) = 1 + 4 (\frac{- 1}{2}) - 8$

Schritt 3.2.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{1}{2}) = 1 + 2 (2) (\frac{- 1}{2}) - 8$

Schritt 3.2.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{2}) = 1 + 2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2})) - 8$

Schritt 3.2.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{2}) = 1 + 2 \cdot - 1 - 8$

Schritt 3.2.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 1 - 2 - 8$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - 8$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $8$ von $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 9$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 9$ .

$- 9$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(- \frac{1}{2}, - 9)$

Schritt 5