Algebra Beispiele

$\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \frac{16}{243}$

Schritt 1

Dies ist eine geometrische Folge, da es zwischen aufeinanderfolgenden Termen ein gemeinsames Verhältnis gibt. In diesem Fall ergibt die Multiplikation des vorhergehenden Terms in der Folge mit $\frac{2}{3}$ den nächsten Term. Mit anderen Worten: $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Geometrische Folge: $r = \frac{2}{3}$

Schritt 2

Dies ist die Form einer geometrischen Folge.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Schritt 3

Setze die Werte von $a_{1} = \frac{1}{3}$ und $r = \frac{2}{3}$ ein.

$a_{n} = \frac{1}{3} {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

Schritt 4

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$a_{n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Schritt 5

Kombinieren.

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3 \cdot 3^{n - 1}}$

Schritt 6

Multipliziere $3$ mit $3^{n - 1}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{n - 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{1} \cdot 3^{n - 1}}$

Schritt 6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{1 + n - 1}}$

Schritt 6.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + n - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{n + 0}}$

Schritt 6.2.2

Addiere $n$ und $0$ .

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{n}}$

Schritt 7

Mutltipliziere $2^{n - 1}$ mit $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{n - 1}}{3^{n}}$

Schritt 8

Dies ist die Formel zur Berechnung der Summe der ersten $n$ Terme der geometrischen Folge. Ermittle die Werte von $r$ und $a_{1}$ , um sie auszuwerten.

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Schritt 9

Ersetze die Variablen durch die bekannten Werte, um $S_{5}$ zu ermitteln.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{5} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{2^{5}}{3^{5}} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Schritt 10.2

Potenziere $2$ mit $5$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{3^{5}} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Schritt 10.3

Potenziere $3$ mit $5$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Schritt 10.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Schritt 10.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Schritt 10.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32 - 1 \cdot 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Schritt 10.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $243$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32 - 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Schritt 10.7.2

Subtrahiere $243$ von $32$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{- 211}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Schritt 10.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Schritt 11

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 11.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 11.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 11.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2 - 3}{3}}$

Schritt 11.4.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{- 1}{3}}$

Schritt 11.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{- \frac{1}{3}}$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{211}{243}}{\frac{1}{3}}$

Schritt 12.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{211}{243} \cdot 3)$

Schritt 12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1

Faktorisiere $3$ aus $\frac{211}{243} \cdot 3$ heraus.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot \frac{211}{243})$

Schritt 12.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot \frac{211}{243})$

Schritt 12.3.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{5} = \frac{211}{243}$