Algebra Beispiele

$2 x + y + z = 4$ , $6 y + 5 z = - 33 x$ , $5 y - z = 27$

Schritt 1

Verschiebe Variablen nach links und konstante Terme nach rechts.

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Schritt 1.1

Addiere $33 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x + y + z = 4$

$6 y + 5 z + 33 x = 0$

$5 y - z = 27$

Schritt 1.2

Bewege $5 z$ .

$2 x + y + z = 4$

$6 y + 33 x + 5 z = 0$

$5 y - z = 27$

Schritt 1.3

Stelle $6 y$ und $33 x$ um.

$2 x + y + z = 4$

$33 x + 6 y + 5 z = 0$

$5 y - z = 27$

$2 x + y + z = 4$

$33 x + 6 y + 5 z = 0$

$5 y - z = 27$

Schritt 2

Schreibe das System als eine Matrix.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 & 4 \\ 33 & 6 & 5 & 0 \\ 0 & 5 & - 1 & 27 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{4}{2} \\ 33 & 6 & 5 & 0 \\ 0 & 5 & - 1 & 27 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 33 & 6 & 5 & 0 \\ 0 & 5 & - 1 & 27 \end{array}]$

Schritt 3.2

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 33 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.2.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 33 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 33 - 33 \cdot 1 & 6 - 33 (\frac{1}{2}) & 5 - 33 (\frac{1}{2}) & 0 - 33 \cdot 2 \\ 0 & 5 & - 1 & 27 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & - \frac{21}{2} & - \frac{23}{2} & - 66 \\ 0 & 5 & - 1 & 27 \end{array}]$

Schritt 3.3

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{2}{21}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{2}{21}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ - \frac{2}{21} \cdot 0 & - \frac{2}{21} (- \frac{21}{2}) & - \frac{2}{21} (- \frac{23}{2}) & - \frac{2}{21} \cdot - 66 \\ 0 & 5 & - 1 & 27 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & \frac{23}{21} & \frac{44}{7} \\ 0 & 5 & - 1 & 27 \end{array}]$

Schritt 3.4

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.4.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & \frac{23}{21} & \frac{44}{7} \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & - 1 - 5 (\frac{23}{21}) & 27 - 5 (\frac{44}{7}) \end{array}]$

Schritt 3.4.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & \frac{23}{21} & \frac{44}{7} \\ 0 & 0 & - \frac{136}{21} & - \frac{31}{7} \end{array}]$

Schritt 3.5

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $- \frac{21}{136}$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.5.1

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $- \frac{21}{136}$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & \frac{23}{21} & \frac{44}{7} \\ - \frac{21}{136} \cdot 0 & - \frac{21}{136} \cdot 0 & - \frac{21}{136} (- \frac{136}{21}) & - \frac{21}{136} (- \frac{31}{7}) \end{array}]$

Schritt 3.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & \frac{23}{21} & \frac{44}{7} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{93}{136} \end{array}]$

Schritt 3.6

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - \frac{23}{21} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $2, 3$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.6.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - \frac{23}{21} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $2, 3$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 - \frac{23}{21} \cdot 0 & 1 - \frac{23}{21} \cdot 0 & \frac{23}{21} - \frac{23}{21} \cdot 1 & \frac{44}{7} - \frac{23}{21} \cdot \frac{93}{136} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{93}{136} \end{array}]$

Schritt 3.6.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{753}{136} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{93}{136} \end{array}]$

Schritt 3.7

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $1, 3$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.7.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $1, 3$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{93}{136} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{753}{136} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{93}{136} \end{array}]$

Schritt 3.7.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{451}{272} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{753}{136} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{93}{136} \end{array}]$

Schritt 3.8

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.8.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{451}{272} - \frac{1}{2} \cdot \frac{753}{136} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{753}{136} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{93}{136} \end{array}]$

Schritt 3.8.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{151}{136} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{753}{136} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{93}{136} \end{array}]$

Schritt 4

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = - \frac{151}{136}$

$y = \frac{753}{136}$

$z = \frac{93}{136}$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(- \frac{151}{136}, \frac{753}{136}, \frac{93}{136})$