Algebra Beispiele

$\frac{1}{2}$ , $- 1$ , $2$

Schritt 1

Wurzeln sind die Punkte, wo der Graph die x-Achse schneidet $(y = 0)$ .

$y = 0$ an den Wurzeln

Schritt 2

Die Wurzel bei $x = \frac{1}{2}$ wurde durch Auflösen nach $x$ bestimmt, wenn $x - (\frac{1}{2}) = y$ und $y = 0$ .

Der Faktor ist $x - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Die Wurzel bei $x = - 1$ wurde durch Auflösen nach $x$ bestimmt, wenn $x - (- 1) = y$ und $y = 0$ .

Der Faktor ist $x + 1$

Schritt 4

Die Wurzel bei $x = 2$ wurde durch Auflösen nach $x$ bestimmt, wenn $x - (2) = y$ und $y = 0$ .

Der Faktor ist $x - 2$

Schritt 5

Vereinige alle Faktoren in einer einzelnen Gleichung.

$y = (x - \frac{1}{2}) (x + 1) (x - 2)$

Schritt 6

Multipliziere alle Faktoren, um die Gleichung $y = (x - \frac{1}{2}) (x + 1) (x - 2)$ zu vereinfachen.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(x - \frac{1}{2}) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = (x (x + 1) - \frac{1}{2} \cdot (x + 1)) (x - 2)$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = (x \cdot x + x \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot (x + 1)) (x - 2)$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = (x \cdot x + x \cdot 1 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot 1) (x - 2)$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = (x^{2} + x \cdot 1 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot 1) (x - 2)$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = (x^{2} + x - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot 1) (x - 2)$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = (x^{2} + x - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1) (x - 2)$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = (x^{2} + x - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}) (x - 2)$

Schritt 6.2.2

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} + x \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}) (x - 2)$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} + \frac{x \cdot 2}{2} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}) (x - 2)$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = (x^{2} + \frac{x \cdot 2 - x}{2} - \frac{1}{2}) (x - 2)$

Schritt 6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = (x^{2} + \frac{x \cdot 2 - x - 1}{2}) (x - 2)$

Schritt 6.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = (x^{2} + \frac{2 x - x - 1}{2}) (x - 2)$

Schritt 6.5

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$y = (x^{2} + \frac{x - 1}{2}) (x - 2)$

Schritt 6.6

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x - 1}{2}) (x - 2)$

Schritt 6.7

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = (\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x - 1}{2}) (x - 2)$

Schritt 6.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x^{2} \cdot 2 + x - 1}{2} \cdot (x - 2)$

Schritt 6.9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.9.1

Stelle die Terme um.

$y = \frac{2 x^{2} + x - 1}{2} \cdot (x - 2)$

Schritt 6.9.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 6.9.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{2 x^{2} + 1 x - 1}{2} \cdot (x - 2)$

Schritt 6.9.2.2

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$y = \frac{2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1}{2} \cdot (x - 2)$

Schritt 6.9.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1}{2} \cdot (x - 2)$

Schritt 6.9.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.9.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{(2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1}{2} \cdot (x - 2)$

Schritt 6.9.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{2} \cdot (x - 2)$

Schritt 6.9.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{2} \cdot (x - 2)$

Schritt 6.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{2} \cdot x + \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{2} \cdot - 2$

Schritt 6.10.2

Kombiniere $\frac{(2 x - 1) (x + 1)}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{2} \cdot - 2$

Schritt 6.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.10.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{2} \cdot (2 (- 1))$

Schritt 6.10.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 6.10.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 x - 1) (x + 1) \cdot - 1$

Schritt 6.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.11.1

Multipliziere $(2 x - 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.11.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 x (x + 1) - 1 (x + 1)) \cdot - 1$

Schritt 6.11.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 1 (x + 1)) \cdot - 1$

Schritt 6.11.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1) \cdot - 1$

Schritt 6.11.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.11.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.11.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1) \cdot - 1$

Schritt 6.11.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1) \cdot - 1$

Schritt 6.11.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 x^{2} + 2 x - 1 x - 1 \cdot 1) \cdot - 1$

Schritt 6.11.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 1) \cdot - 1$

Schritt 6.11.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 x^{2} + 2 x - x - 1) \cdot - 1$

Schritt 6.11.2.2

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + (2 x^{2} + x - 1) \cdot - 1$

Schritt 6.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1$

Schritt 6.11.4

Vereinfache.

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Schritt 6.11.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} - 2 x^{2} + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1$

Schritt 6.11.4.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} - 2 x^{2} - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1$

Schritt 6.11.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} - 2 x^{2} - 1 \cdot x + 1$

Schritt 6.11.5

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} - 2 x^{2} - x + 1$

Schritt 6.12

Um $- 2 x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} - 2 x^{2} \cdot \frac{2}{2} - x + 1$

Schritt 6.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.13.1

Kombiniere $- 2 x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x}{2} + \frac{- 2 x^{2} \cdot 2}{2} - x + 1$

Schritt 6.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{(2 x - 1) (x + 1) x - 2 x^{2} \cdot 2}{2} - x + 1$

Schritt 6.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.14.1

Faktorisiere $x$ aus $(2 x - 1) (x + 1) x - 2 x^{2} \cdot 2$ heraus.

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Schritt 6.14.1.1

Faktorisiere $x$ aus $(2 x - 1) (x + 1) x$ heraus.

$y = \frac{x ((2 x - 1) (x + 1)) - 2 x^{2} \cdot 2}{2} - x + 1$

Schritt 6.14.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x^{2} \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{x ((2 x - 1) (x + 1)) + x (- 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Schritt 6.14.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x ((2 x - 1) (x + 1)) + x (- 2 x \cdot 2)$ heraus.

$y = \frac{x ((2 x - 1) (x + 1) - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Schritt 6.14.2

Multipliziere $(2 x - 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.14.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x (2 x (x + 1) - 1 (x + 1) - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Schritt 6.14.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x (2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 1 (x + 1) - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Schritt 6.14.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x (2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Schritt 6.14.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.14.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.14.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.14.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{x (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Schritt 6.14.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Schritt 6.14.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} + 2 x - 1 x - 1 \cdot 1 - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Schritt 6.14.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = \frac{x (2 x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 1 - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Schritt 6.14.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} + 2 x - x - 1 - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Schritt 6.14.3.2

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} + x - 1 - 2 x \cdot 2)}{2} - x + 1$

Schritt 6.14.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} + x - 1 - 4 x)}{2} - x + 1$

Schritt 6.14.5

Subtrahiere $4 x$ von $x$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 1)}{2} - x + 1$

Schritt 6.15

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 1)}{2} - x \cdot \frac{2}{2} + 1$

Schritt 6.16

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.16.1

Kombiniere $- x$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 1)}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} + 1$

Schritt 6.16.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 1) - x \cdot 2}{2} + 1$

Schritt 6.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.17.1

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{2} - 3 x - 1) - x \cdot 2$ heraus.

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Schritt 6.17.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 1) + x (- 1 \cdot 2)}{2} + 1$

Schritt 6.17.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{2} - 3 x - 1) + x (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 1 - 1 \cdot 2)}{2} + 1$

Schritt 6.17.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 1 - 2)}{2} + 1$

Schritt 6.17.3

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 3)}{2} + 1$

Schritt 6.18

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 6.18.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 3)}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 6.18.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x (2 x^{2} - 3 x - 3) + 2}{2}$

Schritt 6.19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x (2 x^{2}) + x (- 3 x) + x \cdot - 3 + 2}{2}$

Schritt 6.19.2

Vereinfache.

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Schritt 6.19.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{2 x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 3 + 2}{2}$

Schritt 6.19.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{2 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot x + x \cdot - 3 + 2}{2}$

Schritt 6.19.2.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{2 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot x - 3 \cdot x + 2}{2}$

Schritt 6.19.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.19.3.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.19.3.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = \frac{2 (x^{2} x) - 3 x \cdot x - 3 \cdot x + 2}{2}$

Schritt 6.19.3.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.19.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{2 (x^{2} x) - 3 x \cdot x - 3 \cdot x + 2}{2}$

Schritt 6.19.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{2 x^{2 + 1} - 3 x \cdot x - 3 \cdot x + 2}{2}$

Schritt 6.19.3.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 3 x \cdot x - 3 \cdot x + 2}{2}$

Schritt 6.19.3.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.19.3.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 3 (x \cdot x) - 3 \cdot x + 2}{2}$

Schritt 6.19.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 \cdot x + 2}{2}$

$y = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2}{2}$

Schritt 6.19.4

Schreibe $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 6.19.4.1

Faktorisiere $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 6.19.4.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 6.19.4.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 2$

Schritt 6.19.4.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 6.19.4.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$2 {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 2$

Schritt 6.19.4.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$2 \cdot - 1 - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 2$

Schritt 6.19.4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 2$

Schritt 6.19.4.1.3.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 - 3 \cdot 1 - 3 \cdot - 1 + 2$

Schritt 6.19.4.1.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 2 - 3 - 3 \cdot - 1 + 2$

Schritt 6.19.4.1.3.6

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$- 5 - 3 \cdot - 1 + 2$

Schritt 6.19.4.1.3.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- 5 + 3 + 2$

Schritt 6.19.4.1.3.8

Addiere $- 5$ und $3$ .

$- 2 + 2$

Schritt 6.19.4.1.3.9

Addiere $- 2$ und $2$ .

$0$

Schritt 6.19.4.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2}{x + 1}$

Schritt 6.19.4.1.5

Dividiere $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ durch $x + 1$ .

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Schritt 6.19.4.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

Schritt 6.19.4.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

Schritt 6.19.4.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 6.19.4.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 6.19.4.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Schritt 6.19.4.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 6.19.4.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 6.19.4.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 6.19.4.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 x^{2} - 5 x$

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 6.19.4.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$

Schritt 6.19.4.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Schritt 6.19.4.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Schritt 6.19.4.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Schritt 6.19.4.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x + 2$

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Schritt 6.19.4.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Schritt 6.19.4.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} - 5 x + 2$

Schritt 6.19.4.1.6

Schreibe $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ als eine Menge von Faktoren.

$y = \frac{(x + 1) (2 x^{2} - 5 x + 2)}{2}$

Schritt 6.19.4.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.19.4.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 6.19.4.2.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$y = \frac{(x + 1) (2 x^{2} - 5 x + 2)}{2}$

Schritt 6.19.4.2.1.2

Schreibe $- 5$ um als $- 1$ plus $- 4$

$y = \frac{(x + 1) (2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2)}{2}$

Schritt 6.19.4.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(x + 1) (2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2)}{2}$

Schritt 6.19.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.19.4.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{(x + 1) ((2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2)}{2}$

Schritt 6.19.4.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{(x + 1) (x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1))}{2}$

Schritt 6.19.4.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$y = \frac{(x + 1) ((2 x - 1) (x - 2))}{2}$

$y = \frac{(x + 1) (2 x - 1) (x - 2)}{2}$

Schritt 6.20

Multipliziere $(x + 1) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) (x - 2)}{2}$

Schritt 6.20.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)) (x - 2)}{2}$

Schritt 6.20.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1) (x - 2)}{2}$

Schritt 6.21

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.21.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.21.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{(2 x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1) (x - 2)}{2}$

Schritt 6.21.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.21.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{(2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1) (x - 2)}{2}$

Schritt 6.21.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{(2 x^{2} + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1) (x - 2)}{2}$

Schritt 6.21.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{(2 x^{2} - 1 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1) (x - 2)}{2}$

Schritt 6.21.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = \frac{(2 x^{2} - x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1) (x - 2)}{2}$

Schritt 6.21.1.5

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$y = \frac{(2 x^{2} - x + 2 x + 1 \cdot - 1) (x - 2)}{2}$

Schritt 6.21.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = \frac{(2 x^{2} - x + 2 x - 1) (x - 2)}{2}$

Schritt 6.21.2

Addiere $- x$ und $2 x$ .

$y = \frac{(2 x^{2} + x - 1) (x - 2)}{2}$

Schritt 6.22

Multipliziere $(2 x^{2} + x - 1) (x - 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 2 + x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2}{2}$

Schritt 6.23

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.23.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.23.1.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 + x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2}{2}$

Schritt 6.23.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 6.23.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 + x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2}{2}$

Schritt 6.23.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 2 + x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2}{2}$

Schritt 6.23.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 + x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2}{2}$

Schritt 6.23.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2}{2}$

Schritt 6.23.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + x^{2} + x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2}{2}$

Schritt 6.23.4

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + x^{2} - 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 2}{2}$

Schritt 6.23.5

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + x^{2} - 2 x - x - 1 \cdot - 2}{2}$

Schritt 6.23.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + x^{2} - 2 x - x + 2}{2}$

Schritt 6.24

Addiere $- 4 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x - x + 2}{2}$

Schritt 6.25

Subtrahiere $x$ von $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2}{2}$

Schritt 6.26

Zerlege den Bruch $\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2}{2}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 6.27

Zerlege den Bruch $\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x}{2}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 6.28

Zerlege den Bruch $\frac{2 x^{3} - 3 x^{2}}{2}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{2 x^{3}}{2} + \frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 6.29

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.29.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 x^{3}}{2} + \frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 6.29.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 6.30

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = x^{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 6.31

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = x^{3} - \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 6.32

Dividiere $2$ durch $2$ .

$y = x^{3} - \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{3 x}{2} + 1$

Schritt 7