Algebra Beispiele

$\csc^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \cot^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\csc^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Schritt 2

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + \cot^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)$

Schritt 3.2

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ an.

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4

Schreibe $1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{1} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Addiere Brüche.

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Schritt 5.1

Um $\frac{1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{1}$ mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{(1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

$\frac{\cos^{2} (x) + \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7

Schreibe $\cos^{2} (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{1} + \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8

Addiere Brüche.

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Schritt 8.1

Um $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 9

Schreibe $\sin^{2} (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 10

Addiere Brüche.

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Schritt 10.1

Um $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 10.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x) + \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 11

Multipliziere ${\sin (x)}^{2}$ mit ${\sin (x)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 12

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\frac{(1 - \sin^{2} (x)) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{(1 - {\sin (x)}^{2}) {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 13.2.2

Mutltipliziere ${\sin (x)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 13.2.3

Multipliziere ${\sin (x)}^{2}$ mit ${\sin (x)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.2.3.1

Bewege ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} - ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}) + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2 + 2} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 13.2.4

Addiere $- {\sin (x)}^{4}$ und ${\sin (x)}^{4}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4} + 0}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 13.2.5

Addiere ${\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}$ und $0$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 13.3

Mutltipliziere $\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}}$ mit $\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos^{4} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 15

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\cot^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

Schritt 16

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 16.1

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + \sec^{2} (x)$

Schritt 16.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 16.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ an.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 16.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 17

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 18

Addiere Brüche.

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Schritt 18.1

Um $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 18.2

Um $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 18.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 18.3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 18.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 18.3.3

Stelle die Faktoren von $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ um.

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 18.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 19

Multipliziere ${\cos (x)}^{2}$ mit ${\cos (x)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

$\frac{\cos^{4} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 20

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\csc^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \cot^{2} (x) + \sec^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung