Algebra Beispiele

$(2 \sqrt{2}, \frac{7 π}{4})$

Schritt 1

Benutze die Umrechnungsformeln, um von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umzurechnen.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Schritt 2

Setze die bekannten Werte von $r = 2 \sqrt{2}$ und $θ = \frac{7 π}{4}$ in die Formeln ein.

$x = (2 \sqrt{2}) \cos (\frac{7 π}{4})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$x = 2 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$x = 2 (\sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \sqrt{2} \sqrt{2}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

$x = \sqrt{2} \sqrt{2}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$x = {\sqrt{2}}^{2}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 8

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

$x = 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 8.5

Berechne den Exponenten.

$x = 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

$x = 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Schritt 9

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$x = 2$

$y = 2 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 10

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2$

$y = 2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$x = 2$

$y = 2 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Schritt 11.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$x = 2$

$y = 2 (\sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2$

$y = 2 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Schritt 11.4

Forme den Ausdruck um.

$x = 2$

$y = \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$x = 2$

$y = \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Schritt 12

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = 2$

$y = - (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Schritt 13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = 2$

$y = - {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Schritt 14

Addiere $1$ und $1$ .

$x = 2$

$y = - {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 15

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 15.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = 2$

$y = - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 15.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2$

$y = - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = 2$

$y = - 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 15.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2$

$y = - 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 15.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

Schritt 15.5

Berechne den Exponenten.

$x = 2$

$y = - 1 \cdot 2$

$x = 2$

$y = - 1 \cdot 2$

Schritt 16

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = 2$

$y = - 2$

Schritt 17

Die kartesische Darstellung des Punktes mit den Polarkoordinaten $(2 \sqrt{2}, \frac{7 π}{4})$ ist $(2, - 2)$ .

$(2, - 2)$