Algebra Beispiele

$f (x) = - 6 x^{2} + 9 x - 17$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - 6 x^{2} + 9 x - 17$ als Gleichung.

$y = - 6 x^{2} + 9 x - 17$

Schritt 2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 6 x^{2} + 9 x - 17 = y$

Schritt 3

Addiere $17$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 x^{2} + 9 x = y + 17$

Schritt 4

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 4.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 6$

$b = 9$

$c = 0 = y + 17$

Schritt 4.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 17$

Schritt 4.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{9}{2 \cdot - 6}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $- 6$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$d = \frac{3 (3)}{2 \cdot - 6}$

Schritt 4.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $2 \cdot - 6$ heraus.

$d = \frac{3 (3)}{3 (2 \cdot - 2)}$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3 \cdot 3}{3 (2 \cdot - 2)}$

Schritt 4.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{2 \cdot - 2}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$d = \frac{3}{- 4}$

Schritt 4.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{3}{4}$

Schritt 4.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{9^{2}}{4 \cdot - 6}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{81}{4 \cdot - 6}$

Schritt 4.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 6$ .

$e = 0 - \frac{81}{- 24}$

Schritt 4.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $81$ und $- 24$ .

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Schritt 4.4.2.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$e = 0 - \frac{3 (27)}{- 24}$

Schritt 4.4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 24$ heraus.

$e = 0 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot - 8}$

Schritt 4.4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot - 8}$

Schritt 4.4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{27}{- 8}$

Schritt 4.4.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = 0 - - \frac{27}{8}$

Schritt 4.4.2.1.5

Multipliziere $- - \frac{27}{8}$ .

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Schritt 4.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{27}{8})$

Schritt 4.4.2.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{27}{8}$ mit $1$ .

$e = 0 + \frac{27}{8}$

Schritt 4.4.2.2

Addiere $0$ und $\frac{27}{8}$ .

$e = \frac{27}{8}$

Schritt 4.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{27}{8}$ ein.

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{27}{8} = y + 17$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $\frac{27}{8}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + 17 - \frac{27}{8}$

Schritt 5.2

Um $17$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + 17 \cdot \frac{8}{8} - \frac{27}{8}$

Schritt 5.3

Kombiniere $17$ und $\frac{8}{8}$ .

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{17 \cdot 8}{8} - \frac{27}{8}$

Schritt 5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{17 \cdot 8 - 27}{8}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $17$ mit $8$ .

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{136 - 27}{8}$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $27$ von $136$ .

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{109}{8}$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{109}{8}$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{109}{8}$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{- 6} = \frac{y}{- 6} + \frac{\frac{109}{8}}{- 6}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{- 6} = \frac{y}{- 6} + \frac{\frac{109}{8}}{- 6}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere ${(x - \frac{3}{4})}^{2}$ durch $1$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{- 6} + \frac{\frac{109}{8}}{- 6}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{y}{6} + \frac{\frac{109}{8}}{- 6}$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{y}{6} + \frac{109}{8} \cdot \frac{1}{- 6}$

Schritt 6.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{y}{6} + \frac{109}{8} (- \frac{1}{6})$

Schritt 6.3.1.4

Multipliziere $\frac{109}{8} (- \frac{1}{6})$ .

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Schritt 6.3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{109}{8}$ mit $\frac{1}{6}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{y}{6} - \frac{109}{8 \cdot 6}$

Schritt 6.3.1.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $6$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{y}{6} - \frac{109}{48}$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{y}{6} - \frac{109}{48}$ heraus.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{y}{6}$ heraus.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{y}{6}) - \frac{109}{48}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{109}{48}$ heraus.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{y}{6}) - (\frac{109}{48})$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\frac{y}{6}) - (\frac{109}{48})$ heraus.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{y}{6} + \frac{109}{48})$

Schritt 7.2

Um $\frac{y}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{y}{6} \cdot \frac{8}{8} + \frac{109}{48})$

Schritt 7.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $48$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{y}{6}$ mit $\frac{8}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{y \cdot 8}{6 \cdot 8} + \frac{109}{48})$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{y \cdot 8}{48} + \frac{109}{48})$

Schritt 7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{y \cdot 8 + 109}{48}$

Schritt 7.5

Bringe $8$ auf die linke Seite von $y$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{8 y + 109}{48}$

Schritt 7.6

Stelle die Terme um.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{1}{48} (8 y + 109))$

Schritt 7.7

Entferne die Klammern.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{1}{48} (8 y + 109)$