Algebra Beispiele

$t (x) = x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm 36, \pm 54, \pm 108$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm 36, \pm 54, \pm 108$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(3)}^{4} - 7 {(3)}^{3} + 3 {(3)}^{2} + 63 (3) - 108$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$81 - 7 {(3)}^{3} + 3 {(3)}^{2} + 63 (3) - 108$

Schritt 4.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$81 - 7 \cdot 27 + 3 {(3)}^{2} + 63 (3) - 108$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $27$ .

$81 - 189 + 3 {(3)}^{2} + 63 (3) - 108$

Schritt 4.1.4

Multipliziere $3$ mit ${(3)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit ${(3)}^{2}$ .

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Schritt 4.1.4.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$81 - 189 + 3^{1} {(3)}^{2} + 63 (3) - 108$

Schritt 4.1.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$81 - 189 + 3^{1 + 2} + 63 (3) - 108$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $1$ und $2$ .

$81 - 189 + 3^{3} + 63 (3) - 108$

Schritt 4.1.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$81 - 189 + 27 + 63 (3) - 108$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $63$ mit $3$ .

$81 - 189 + 27 + 189 - 108$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $189$ von $81$ .

$- 108 + 27 + 189 - 108$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 108$ und $27$ .

$- 81 + 189 - 108$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 81$ und $189$ .

$108 - 108$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $108$ von $108$ .

$0$

Schritt 5

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108}{x - 3}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$3$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$3$
	$1$	$- 4$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$3$	$- 12$
	$1$	$- 4$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$3$	$- 12$
	$1$	$- 4$	$- 9$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 9)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 27)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$3$	$- 12$	$- 27$
	$1$	$- 4$	$- 9$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$3$	$- 12$	$- 27$
	$1$	$- 4$	$- 9$	$36$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(36)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(108)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 108)$ .

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$3$	$- 12$	$- 27$	$108$
	$1$	$- 4$	$- 9$	$36$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$3$	$- 12$	$- 27$	$108$
	$1$	$- 4$	$- 9$	$36$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 9) x + 36$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 36$

Schritt 7

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 3) (x^{3} - 4 x^{2}) - 9 x + 36$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 3) + x^{2} (x - 4) - 9 (x - 4)$

$(x - 3) x^{2} (x - 4) - 9 (x - 4)$

Schritt 8

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 4$ .

$(x - 3) (x - 4) (x^{2} - 9)$

Schritt 9

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x - 3) (x - 4) (x^{2} - 3^{2})$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$(x - 3) + (x - 4) ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 3) + (x - 4) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 3) (x - 4) (x + 3) (x - 3)$

Schritt 11

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 11.1

Gruppiere die Terme um.

$- 7 x^{3} + 63 x + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

Schritt 11.2

Faktorisiere $- 7 x$ aus $- 7 x^{3} + 63 x$ heraus.

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $- 7 x$ aus $- 7 x^{3}$ heraus.

$- 7 x \cdot x^{2} + 63 x + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

Schritt 11.2.2

Faktorisiere $- 7 x$ aus $63 x$ heraus.

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot - 9 + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

Schritt 11.2.3

Faktorisiere $- 7 x$ aus $- 7 x (x^{2}) - 7 x (- 9)$ heraus.

$- 7 x (x^{2} - 9) + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

Schritt 11.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- 7 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

Schritt 11.4

Faktorisiere.

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Schritt 11.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$- 7 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

Schritt 11.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 7 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

Schritt 11.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 7 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} - 108 = 0$

Schritt 11.6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 7 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} + 3 u - 108 = 0$

Schritt 11.7

Faktorisiere $u^{2} + 3 u - 108$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 11.7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 108$ und deren Summe $3$ ist.

$- 9, 12$

Schritt 11.7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 7 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u + 12) = 0$

Schritt 11.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 7 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} + 12) = 0$

Schritt 11.9

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- 7 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 12) = 0$

Schritt 11.10

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$- 7 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 12) = 0$

Schritt 11.11

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $- 7 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 12)$ heraus.

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Schritt 11.11.1

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $- 7 x (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (- 7 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 12) = 0$

Schritt 11.11.2

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $(x + 3) (x - 3) (- 7 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 12)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (- 7 x + x^{2} + 12) = 0$

Schritt 11.12

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 7 u + u^{2} + 12) = 0$

Schritt 11.13

Faktorisiere $- 7 u + u^{2} + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 11.13.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 4, - 3$

Schritt 11.13.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 4) (u - 3)) = 0$

Schritt 11.14

Faktorisiere.

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Schritt 11.14.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 4) (x - 3)) = 0$

Schritt 11.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 3) (x - 3) (x - 4) (x - 3) = 0$

Schritt 11.15

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 11.15.1

Potenziere $x - 3$ mit $1$ .

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (x - 4) = 0$

Schritt 11.15.2

Potenziere $x - 3$ mit $1$ .

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (x - 4) = 0$

Schritt 11.15.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 3) {(x - 3)}^{1 + 1} (x - 4) = 0$

Schritt 11.15.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(x + 3) {(x - 3)}^{2} (x - 4) = 0$

Schritt 12

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 13

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 14

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 14.2

Löse ${(x - 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 14.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 15

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 15.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 16

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) {(x - 3)}^{2} (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3, 4$

Schritt 17