Algebra Beispiele

${4, \frac{5}{6}}$

Schritt 1

$x = 4$ und $x = \frac{5}{6}$ sind die beiden voneinander verschiedenen reellen Lösungen für die quadratische Gleichung, was bedeutet, dass $x - 4$ und $x - \frac{5}{6}$ die Faktoren der quadratischen Gleichung sind.

$(x - 4) (x - \frac{5}{6}) = 0$

Schritt 2

Multipliziere $(x - 4) (x - \frac{5}{6})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - \frac{5}{6}) - 4 (x - \frac{5}{6}) = 0$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (- \frac{5}{6}) - 4 (x - \frac{5}{6}) = 0$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (- \frac{5}{6}) - 4 x - 4 (- \frac{5}{6}) = 0$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x (- \frac{5}{6}) - 4 x - 4 (- \frac{5}{6}) = 0$

Schritt 3.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{6}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 5}{6} - 4 x - 4 (- \frac{5}{6}) = 0$

Schritt 3.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - \frac{5 \cdot x}{6} - 4 x - 4 (- \frac{5}{6}) = 0$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{6}$ in den Zähler.

$x^{2} - \frac{5 x}{6} - 4 x - 4 (\frac{- 5}{6}) = 0$

Schritt 3.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$x^{2} - \frac{5 x}{6} - 4 x + 2 (- 2) (\frac{- 5}{6}) = 0$

Schritt 3.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x^{2} - \frac{5 x}{6} - 4 x + 2 \cdot (- 2 \frac{- 5}{2 \cdot 3}) = 0$

Schritt 3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - \frac{5 x}{6} - 4 x + 2 \cdot (- 2 \frac{- 5}{2 \cdot 3}) = 0$

Schritt 3.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - \frac{5 x}{6} - 4 x - 2 (\frac{- 5}{3}) = 0$

Schritt 3.1.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{- 5}{3}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{6} - 4 x + \frac{- 2 \cdot - 5}{3} = 0$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 5$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{6} - 4 x + \frac{10}{3} = 0$

Schritt 3.2

Um $- 4 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{6} - 4 x \cdot \frac{6}{6} + \frac{10}{3} = 0$

Schritt 3.3

Kombiniere $- 4 x$ und $\frac{6}{6}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{- 4 x \cdot 6}{6} + \frac{10}{3} = 0$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{- 5 x - 4 x \cdot 6}{6} + \frac{10}{3} = 0$

Schritt 3.5

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x^{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{- 5 x - 4 x \cdot 6}{6} + \frac{10}{3} = 0$

Schritt 3.6

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 6}{6} + \frac{- 5 x - 4 x \cdot 6}{6} + \frac{10}{3} = 0$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 6 - 5 x - 4 x \cdot 6}{6} + \frac{10}{3} = 0$

Schritt 3.8

Um $\frac{10}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 6 - 5 x - 4 x \cdot 6}{6} + \frac{10}{3} \cdot \frac{2}{2} = 0$

Schritt 3.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $\frac{10}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 6 - 5 x - 4 x \cdot 6}{6} + \frac{10 \cdot 2}{3 \cdot 2} = 0$

Schritt 3.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \cdot 6 - 5 x - 4 x \cdot 6}{6} + \frac{10 \cdot 2}{6} = 0$

Schritt 3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 6 - 5 x - 4 x \cdot 6 + 10 \cdot 2}{6} = 0$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{6 \cdot x^{2} - 5 x - 4 x \cdot 6 + 10 \cdot 2}{6} = 0$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 4$ .

$\frac{6 x^{2} - 5 x - 24 x + 10 \cdot 2}{6} = 0$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\frac{6 x^{2} - 5 x - 24 x + 20}{6} = 0$

Schritt 4.4

Subtrahiere $24 x$ von $- 5 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 29 x + 20}{6} = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot 20 = 120$ und deren Summe gleich $b = - 29$ ist.

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Schritt 4.5.1.1

Faktorisiere $- 29$ aus $- 29 x$ heraus.

$\frac{6 x^{2} - 29 x + 20}{6} = 0$

Schritt 4.5.1.2

Schreibe $- 29$ um als $- 5$ plus $- 24$

$\frac{6 x^{2} + (- 5 - 24) x + 20}{6} = 0$

Schritt 4.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x^{2} - 5 x - 24 x + 20}{6} = 0$

Schritt 4.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(6 x^{2} - 5 x) - 24 x + 20}{6} = 0$

Schritt 4.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (6 x - 5) - 4 (6 x - 5)}{6} = 0$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $6 x - 5$ .

$\frac{(6 x - 5) (x - 4)}{6} = 0$

Schritt 5

Multipliziere $(6 x - 5) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x (x - 4) - 5 (x - 4)}{6} = 0$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x \cdot x + 6 x \cdot - 4 - 5 (x - 4)}{6} = 0$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x \cdot x + 6 x \cdot - 4 - 5 x - 5 \cdot - 4}{6} = 0$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 4 - 5 x - 5 \cdot - 4}{6} = 0$

Schritt 6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 6 x \cdot - 4 - 5 x - 5 \cdot - 4}{6} = 0$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$\frac{6 x^{2} - 24 x - 5 x - 5 \cdot - 4}{6} = 0$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 4$ .

$\frac{6 x^{2} - 24 x - 5 x + 20}{6} = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 24 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 29 x + 20}{6} = 0$

Schritt 7

Zerlege den Bruch $\frac{6 x^{2} - 29 x + 20}{6}$ in zwei Brüche.

$\frac{6 x^{2} - 29 x}{6} + \frac{20}{6} = 0$

Schritt 8

Zerlege den Bruch $\frac{6 x^{2} - 29 x}{6}$ in zwei Brüche.

$\frac{6 x^{2}}{6} + \frac{- 29 x}{6} + \frac{20}{6} = 0$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x^{2}}{6} + \frac{- 29 x}{6} + \frac{20}{6} = 0$

Schritt 9.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{- 29 x}{6} + \frac{20}{6} = 0$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - \frac{29 x}{6} + \frac{20}{6} = 0$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $6$ .

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Schritt 11.1

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$x^{2} - \frac{29 x}{6} + \frac{2 (10)}{6} = 0$

Schritt 11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x^{2} - \frac{29 x}{6} + \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 3} = 0$

Schritt 11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - \frac{29 x}{6} + \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 3} = 0$

Schritt 11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - \frac{29 x}{6} + \frac{10}{3} = 0$

Schritt 12

Die Normalform der quadratischen Gleichung basierend auf der gegebenen Lösungsmenge ${4, \frac{5}{6}}$ ist $y = x^{2} - \frac{29 x}{6} + \frac{10}{3}$ .

$y = x^{2} - \frac{29 x}{6} + \frac{10}{3}$

Schritt 13