Algebra Beispiele

$2 x^{4} - 15 x^{3} + 32 x^{2} - 30 x + 56 = 0$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 8, \pm 14, \pm 28, \pm 56$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm 8, \pm 14, \pm 28, \pm 56$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$2 {(4)}^{4} - 15 {(4)}^{3} + 32 {(4)}^{2} - 30 \cdot 4 + 56$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 4$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $4$ mit $4$ .

$2 \cdot 256 - 15 {(4)}^{3} + 32 {(4)}^{2} - 30 \cdot 4 + 56$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $256$ .

$512 - 15 {(4)}^{3} + 32 {(4)}^{2} - 30 \cdot 4 + 56$

Schritt 4.1.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$512 - 15 \cdot 64 + 32 {(4)}^{2} - 30 \cdot 4 + 56$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 15$ mit $64$ .

$512 - 960 + 32 {(4)}^{2} - 30 \cdot 4 + 56$

Schritt 4.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$512 - 960 + 32 \cdot 16 - 30 \cdot 4 + 56$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $32$ mit $16$ .

$512 - 960 + 512 - 30 \cdot 4 + 56$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $- 30$ mit $4$ .

$512 - 960 + 512 - 120 + 56$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $960$ von $512$ .

$- 448 + 512 - 120 + 56$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 448$ und $512$ .

$64 - 120 + 56$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $120$ von $64$ .

$- 56 + 56$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 56$ und $56$ .

$0$

Schritt 5

Da $4$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 4$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{4} - 15 x^{3} + 32 x^{2} - 30 x + 56}{x - 4}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$4$	$2$	$- 15$	$32$	$- 30$	$56$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$4$	$2$	$- 15$	$32$	$- 30$	$56$

	$2$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(8)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 15)$ .

$4$	$2$	$- 15$	$32$	$- 30$	$56$
		$8$
	$2$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$2$	$- 15$	$32$	$- 30$	$56$
		$8$
	$2$	$- 7$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 7)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 28)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(32)$ .

$4$	$2$	$- 15$	$32$	$- 30$	$56$
		$8$	$- 28$
	$2$	$- 7$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$2$	$- 15$	$32$	$- 30$	$56$
		$8$	$- 28$
	$2$	$- 7$	$4$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(16)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 30)$ .

$4$	$2$	$- 15$	$32$	$- 30$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$
	$2$	$- 7$	$4$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$2$	$- 15$	$32$	$- 30$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$
	$2$	$- 7$	$4$	$- 14$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 14)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 56)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(56)$ .

$4$	$2$	$- 15$	$32$	$- 30$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$	$- 56$
	$2$	$- 7$	$4$	$- 14$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$2$	$- 15$	$32$	$- 30$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$	$- 56$
	$2$	$- 7$	$4$	$- 14$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{3} + - 7 x^{2} + (4) x - 14$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x - 14$

Schritt 7

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 4) (2 x^{3} - 7 x^{2}) + 4 x - 14$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 4) + x^{2} (2 x - 7) + 2 (2 x - 7)$

$(x - 4) x^{2} (2 x - 7) + 2 (2 x - 7)$

Schritt 8

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 7$ .

$(x - 4) (2 x - 7) (x^{2} + 2)$

Schritt 9

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Gruppiere die Terme um.

$- 15 x^{3} - 30 x + 2 x^{4} + 32 x^{2} + 56 = 0$

Schritt 9.2

Faktorisiere $- 15 x$ aus $- 15 x^{3} - 30 x$ heraus.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $- 15 x$ aus $- 15 x^{3}$ heraus.

$- 15 x \cdot x^{2} - 30 x + 2 x^{4} + 32 x^{2} + 56 = 0$

Schritt 9.2.2

Faktorisiere $- 15 x$ aus $- 30 x$ heraus.

$- 15 x \cdot x^{2} - 15 x \cdot 2 + 2 x^{4} + 32 x^{2} + 56 = 0$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $- 15 x$ aus $- 15 x (x^{2}) - 15 x (2)$ heraus.

$- 15 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 32 x^{2} + 56 = 0$

Schritt 9.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4} + 32 x^{2} + 56$ heraus.

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$- 15 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4}) + 32 x^{2} + 56 = 0$

Schritt 9.3.2

Faktorisiere $2$ aus $32 x^{2}$ heraus.

$- 15 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4}) + 2 (16 x^{2}) + 56 = 0$

Schritt 9.3.3

Faktorisiere $2$ aus $56$ heraus.

$- 15 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 2 (16 x^{2}) + 2 \cdot 28 = 0$

Schritt 9.3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4} + 2 (16 x^{2})$ heraus.

$- 15 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4} + 16 x^{2}) + 2 \cdot 28 = 0$

Schritt 9.3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{4} + 16 x^{2}) + 2 \cdot 28$ heraus.

$- 15 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4} + 16 x^{2} + 28) = 0$

Schritt 9.4

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 15 x (x^{2} + 2) + 2 ({(x^{2})}^{2} + 16 x^{2} + 28) = 0$

Schritt 9.5

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 15 x (x^{2} + 2) + 2 (u^{2} + 16 u + 28) = 0$

Schritt 9.6

Faktorisiere $u^{2} + 16 u + 28$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $28$ und deren Summe $16$ ist.

$2, 14$

Schritt 9.6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 15 x (x^{2} + 2) + 2 ((u + 2) (u + 14)) = 0$

Schritt 9.7

Faktorisiere.

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Schritt 9.7.1

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 15 x (x^{2} + 2) + 2 ((x^{2} + 2) (x^{2} + 14)) = 0$

Schritt 9.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 15 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 14) = 0$

Schritt 9.8

Faktorisiere $x^{2} + 2$ aus $- 15 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 14)$ heraus.

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Schritt 9.8.1

Faktorisiere $x^{2} + 2$ aus $- 15 x (x^{2} + 2)$ heraus.

$(x^{2} + 2) (- 15 x) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 14) = 0$

Schritt 9.8.2

Faktorisiere $x^{2} + 2$ aus $2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 14)$ heraus.

$(x^{2} + 2) (- 15 x) + (x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 14)) = 0$

Schritt 9.8.3

Faktorisiere $x^{2} + 2$ aus $(x^{2} + 2) (- 15 x) + (x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 14))$ heraus.

$(x^{2} + 2) (- 15 x + 2 (x^{2} + 14)) = 0$

Schritt 9.9

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 2) (- 15 x + 2 x^{2} + 2 \cdot 14) = 0$

Schritt 9.10

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$(x^{2} + 2) (- 15 x + 2 x^{2} + 28) = 0$

Schritt 9.11

Stelle die Terme um.

$(x^{2} + 2) (2 x^{2} - 15 x + 28) = 0$

Schritt 9.12

Faktorisiere.

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Schritt 9.12.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.12.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 28 = 56$ und deren Summe gleich $b = - 15$ ist.

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Schritt 9.12.1.1.1

Faktorisiere $- 15$ aus $- 15 x$ heraus.

$(x^{2} + 2) (2 x^{2} - 15 x + 28) = 0$

Schritt 9.12.1.1.2

Schreibe $- 15$ um als $- 7$ plus $- 8$

$(x^{2} + 2) (2 x^{2} + (- 7 - 8) x + 28) = 0$

Schritt 9.12.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 2) (2 x^{2} - 7 x - 8 x + 28) = 0$

Schritt 9.12.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.12.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{2} + 2) ((2 x^{2} - 7 x) - 8 x + 28) = 0$

Schritt 9.12.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x^{2} + 2) (x (2 x - 7) - 4 (2 x - 7)) = 0$

Schritt 9.12.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 7$ .

$(x^{2} + 2) ((2 x - 7) (x - 4)) = 0$

Schritt 9.12.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 2) (2 x - 7) (x - 4) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$2 x - 7 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 11

Setze $x^{2} + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x^{2} + 2$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Schritt 11.2

Löse $x^{2} + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 2$

Schritt 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Schritt 11.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Schritt 11.2.3.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Schritt 11.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (2)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Schritt 11.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{2}$

Schritt 11.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{2}$

Schritt 11.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{2}$

Schritt 11.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Schritt 12

Setze $2 x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $2 x - 7$ gleich $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Schritt 12.2

Löse $2 x - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 7$

Schritt 12.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 7$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 12.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 7$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 12.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 12.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Schritt 13

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 13.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 2) (2 x - 7) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, \frac{7}{2}, 4$

Schritt 15