Algebra Beispiele

$\frac{3}{2}$ , $\frac{1}{4}$

Schritt 1

$x = \frac{3}{2}$ und $x = \frac{1}{4}$ sind die beiden voneinander verschiedenen reellen Lösungen für die quadratische Gleichung, was bedeutet, dass $x - \frac{3}{2}$ und $x - \frac{1}{4}$ die Faktoren der quadratischen Gleichung sind.

$(x - \frac{3}{2}) (x - \frac{1}{4}) = 0$

Schritt 2

Multipliziere $(x - \frac{3}{2}) (x - \frac{1}{4})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - \frac{1}{4}) - \frac{3}{2} \cdot (x - \frac{1}{4}) = 0$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (- \frac{1}{4}) - \frac{3}{2} \cdot (x - \frac{1}{4}) = 0$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (- \frac{1}{4}) - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{4}) = 0$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x (- \frac{1}{4}) - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{4}) = 0$

Schritt 3.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{4}) = 0$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{4}) = 0$

Schritt 3.1.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 \cdot x}{2} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{4}) = 0$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $- \frac{3}{2} (- \frac{1}{4})$ .

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x}{2} + 1 (\frac{3}{2}) \cdot \frac{1}{4} = 0$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} = 0$

Schritt 3.1.5.3

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2 \cdot 4} = 0$

Schritt 3.1.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 3.2

Um $- \frac{3 x}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 x}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x \cdot 2}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{- x - 3 x \cdot 2}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 3.5

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- x - 3 x \cdot 2}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 3.6

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{4} + \frac{- x - 3 x \cdot 2}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 3.8

Um $\frac{x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 3.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 3.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{(x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2) \cdot 2}{8} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2) \cdot 2 + 3}{8} = 0$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{(4 \cdot x^{2} - x - 3 x \cdot 2) \cdot 2 + 3}{8} = 0$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{(4 x^{2} - x - 6 x) \cdot 2 + 3}{8} = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $6 x$ von $- x$ .

$\frac{(4 x^{2} - 7 x) \cdot 2 + 3}{8} = 0$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} \cdot 2 - 7 x \cdot 2 + 3}{8} = 0$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 7 x \cdot 2 + 3}{8} = 0$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$\frac{8 x^{2} - 14 x + 3}{8} = 0$

Schritt 4.6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ und deren Summe gleich $b = - 14$ ist.

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Schritt 4.6.1.1

Faktorisiere $- 14$ aus $- 14 x$ heraus.

$\frac{8 x^{2} - 14 x + 3}{8} = 0$

Schritt 4.6.1.2

Schreibe $- 14$ um als $- 2$ plus $- 12$

$\frac{8 x^{2} + (- 2 - 12) x + 3}{8} = 0$

Schritt 4.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x^{2} - 2 x - 12 x + 3}{8} = 0$

Schritt 4.6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(8 x^{2} - 2 x) - 12 x + 3}{8} = 0$

Schritt 4.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 x (4 x - 1) - 3 (4 x - 1)}{8} = 0$

Schritt 4.6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x - 3)}{8} = 0$

Schritt 5

Multipliziere $(4 x - 1) (2 x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x (2 x - 3) - 1 (2 x - 3)}{8} = 0$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 3 - 1 (2 x - 3)}{8} = 0$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 \cdot (2 x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 \cdot (2 (x \cdot x)) + 4 x \cdot - 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 \cdot (2 x^{2}) + 4 x \cdot - 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 12 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 12 x - 2 x - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Schritt 6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} - 12 x - 2 x + 3}{8} = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 12 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 14 x + 3}{8} = 0$

Schritt 7

Zerlege den Bruch $\frac{8 x^{2} - 14 x + 3}{8}$ in zwei Brüche.

$\frac{8 x^{2} - 14 x}{8} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 8

Zerlege den Bruch $\frac{8 x^{2} - 14 x}{8}$ in zwei Brüche.

$\frac{8 x^{2}}{8} + \frac{- 14 x}{8} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x^{2}}{8} + \frac{- 14 x}{8} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 9.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{- 14 x}{8} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 14$ und $8$ .

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Schritt 10.1

Faktorisiere $2$ aus $- 14 x$ heraus.

$x^{2} + \frac{2 (- 7 x)}{8} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$x^{2} + \frac{2 (- 7 x)}{2 (4)} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{2 (- 7 x)}{2 \cdot 4} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{- 7 x}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - \frac{7 x}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Schritt 12

Die Normalform der quadratischen Gleichung basierend auf der gegebenen Lösungsmenge ${\frac{3}{2}, \frac{1}{4}}$ ist $y = x^{2} - \frac{7 x}{4} + \frac{3}{8}$ .

$y = x^{2} - \frac{7 x}{4} + \frac{3}{8}$

Schritt 13