Algebra Beispiele

${(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$

Schritt 1

Es gibt drei Arten von Symmetrie:

1. x-Achsensymmetrie

2. y-Achsensymmetrie

3. Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung

Schritt 2

Wenn $(x, y)$ auf dem Graphen liegt, dann ist der Graph symmetrisch zur/zum:

1. x-Achse, wenn $(x, - y)$ auf dem Graph existiert

1. y-Achse, wenn $(- x, y)$ auf dem Graph existiert

3. Ursprung, wenn $(- x, - y)$ auf dem Graph existiert

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$(x + 2) (x + 2) + {(y - 4)}^{2} = 25$

Schritt 3.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + 2) + 2 (x + 2) + {(y - 4)}^{2} = 25$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + {(y - 4)}^{2} = 25$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 4)}^{2} = 25$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 4)}^{2} = 25$

Schritt 3.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 4)}^{2} = 25$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + {(y - 4)}^{2} = 25$

Schritt 3.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + {(y - 4)}^{2} = 25$

Schritt 3.4

Schreibe ${(y - 4)}^{2}$ als $(y - 4) (y - 4)$ um.

$x^{2} + 4 x + 4 + (y - 4) (y - 4) = 25$

Schritt 3.5

Multipliziere $(y - 4) (y - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 4 x + 4 + y (y - 4) - 4 (y - 4) = 25$

Schritt 3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 (y - 4) = 25$

Schritt 3.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4 = 25$

Schritt 3.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4 = 25$

Schritt 3.6.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 4 \cdot y - 4 y - 4 \cdot - 4 = 25$

Schritt 3.6.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 4 y - 4 y + 16 = 25$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $4 y$ von $- 4 y$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 8 y + 16 = 25$

Schritt 4

Addiere $4$ und $16$ .

$x^{2} + 4 x + y^{2} - 8 y + 20 = 25$

Schritt 5

Prüfe, ob der Graph symmetrisch zur $x$ -Achse ist, indem du $- y$ für $y$ einsetzt.

$x^{2} + 4 x + {(- y)}^{2} - 8 (- y) + 20 = 25$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$x^{2} + 4 x + {(- 1)}^{2} y^{2} - 8 (- y) + 20 = 25$

Schritt 6.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} + 4 x + 1 y^{2} - 8 (- y) + 20 = 25$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + 4 x + y^{2} - 8 (- y) + 20 = 25$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$x^{2} + 4 x + y^{2} + 8 y + 20 = 25$

Schritt 7

Da die Gleichung mit der ursprünglichen Gleichung nicht identisch ist, ist sie nicht symmetrisch zur x-Achse.

Nicht symmetrisch zur x-Achse

Schritt 8

Prüfe, ob der Graph symmetrisch zur $y$ -Achse ist, indem du $- x$ für $x$ einsetzt.

${(- x)}^{2} + 4 (- x) + y^{2} - 8 y + 20 = 25$

Schritt 9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

${(- 1)}^{2} x^{2} + 4 (- x) + y^{2} - 8 y + 20 = 25$

Schritt 9.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 x^{2} + 4 (- x) + y^{2} - 8 y + 20 = 25$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + 4 (- x) + y^{2} - 8 y + 20 = 25$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x^{2} - 4 x + y^{2} - 8 y + 20 = 25$

Schritt 10

Da die Gleichung mit der ursprünglichen Gleichung nicht identisch ist, ist sie nicht symmetrisch zur y-Achse.

Nicht symmetrisch zur y-Achse

Schritt 11

Prüfe, ob der Graph symmetrisch zum Ursprung ist durch Einsetzen von $- x$ für $x$ und $- y$ für $y$ .

${(- x)}^{2} + 4 (- x) + {(- y)}^{2} - 8 (- y) + 20 = 25$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

${(- 1)}^{2} x^{2} + 4 (- x) + {(- y)}^{2} - 8 (- y) + 20 = 25$

Schritt 12.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 x^{2} + 4 (- x) + {(- y)}^{2} - 8 (- y) + 20 = 25$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + 4 (- x) + {(- y)}^{2} - 8 (- y) + 20 = 25$

Schritt 12.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x^{2} - 4 x + {(- y)}^{2} - 8 (- y) + 20 = 25$

Schritt 12.5

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$x^{2} - 4 x + {(- 1)}^{2} y^{2} - 8 (- y) + 20 = 25$

Schritt 12.6

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 4 x + 1 y^{2} - 8 (- y) + 20 = 25$

Schritt 12.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} - 4 x + y^{2} - 8 (- y) + 20 = 25$

Schritt 12.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$x^{2} - 4 x + y^{2} + 8 y + 20 = 25$

Schritt 13

Da die Gleichung mit der ursprünglichen Gleichung nicht identisch ist, ist sie nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Nicht symmetrisch zum Ursprung

Schritt 14

Bestimme die Symmetrie.

Nicht symmetrisch zur x-Achse

Nicht symmetrisch zur y-Achse

Nicht symmetrisch zum Ursprung

Schritt 15