Algebra Beispiele

$f (x) = x^{5} - 16 x^{4} + 64 x^{3}$

Schritt 1

Setze $x^{5} - 16 x^{4} + 64 x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{5} - 16 x^{4} + 64 x^{3} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5} - 16 x^{4} + 64 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5}$ heraus.

$x^{3} x^{2} - 16 x^{4} + 64 x^{3} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 16 x^{4}$ heraus.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 16 x) + 64 x^{3} = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $64 x^{3}$ heraus.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 16 x) + x^{3} \cdot 64 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x^{2} + x^{3} (- 16 x)$ heraus.

$x^{3} (x^{2} - 16 x) + x^{3} \cdot 64 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (x^{2} - 16 x) + x^{3} \cdot 64$ heraus.

$x^{3} (x^{2} - 16 x + 64) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x^{3} (x^{2} - 16 x + 8^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Schritt 2.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{3} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 8$ .

$x^{3} {(x - 8)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

${(x - 8)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 2.3.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze ${(x - 8)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze ${(x - 8)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 8)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse ${(x - 8)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{3} {(x - 8)}^{2} = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = 0$ (Vielfachheit von $3$ )

$x = 8$ (Vielfachheit von $2$ )

$x = 0$ (Vielfachheit von $3$ )

$x = 8$ (Vielfachheit von $2$ )

Schritt 3